Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio. En esta sección analizaremos la definición formal, el dominio, el codominio, la imagen y las principales propiedades como inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
- Definición de Función
- Dominio, Codominio e Imagen
- Ejemplos de Funciones
- Propiedades de las Funciones
- Funciones Inyectivas
- Funciones No Inyectivas
- Ejercicios sobre Funciones Inyectivas
- Funciones Sobreyectivas
- Funciones No Sobreyectivas
- Ejercicios sobre Funciones Sobreyectivas
- Algunos Ejemplos
- Funciones Biyectivas
- Función Inversa
- Ejercicios sobre Funciones Biyectivas
- Restricción de una Función
- Ejercicios sobre la Restricción de Funciones
Definición de Función
Formalmente, una función es una regla (o mapa) que asocia a cada elemento de un conjunto \(X\) (denominado dominio) un único elemento de otro conjunto \(Y\) (denominado codominio). La notación utilizada para expresar una función es la siguiente:
\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]
O también:
\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]
De este modo, se afirma que la función \(f\) está definida en el conjunto \(X\) y los valores asumidos pertenecen al conjunto \(Y\). Con el término \(f(x)\) se entiende el elemento \(y \in Y\) que está asociado a cada \(x \in X\), siendo la función \(f\) la que especifica la regla de correspondencia entre los elementos de \(X\) y los de \(Y\).
Dominio, Codominio e Imagen
Como se mencionó anteriormente, el dominio de una función \(f\) es el conjunto \(X\) formado por todos los elementos para los cuales la función está definida. Formalmente:
\[ \text{Dom}(f) = X \]
Por ejemplo, la función:
\[ f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2+1} \]
está definida sobre toda la recta real. Así, \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). La imagen, por otro lado, es el conjunto de los valores asumidos por la función, que en este caso particular es \( \text{Imm}(f) = (0, 1] \).
El codominio es el conjunto \(Y\) que contiene todos los valores que pueden ser alcanzados a través de la función \(f\), aunque no todos estos valores necesariamente deben ser realmente obtenidos. La imagen (o rango) de una función \(f\) es el conjunto de los elementos de \(Y\) que son efectivamente alcanzados por la función, y está definida como:
\[ \text{Imm}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \, : \, f(x) = y \} \]
Ejemplos de Funciones
Un ejemplo clásico de función es la función lineal, que representa la recta y que puede escribirse formalmente como:
\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]
donde \(m\) y \(q\) son constantes reales. Otro ejemplo significativo es la función cuadrática, que describe una parábola y se expresa con:
\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]
Propiedades de las Funciones
Las funciones tienen algunas propiedades fundamentales que permiten caracterizarlas de manera más precisa.
Funciones Inyectivas
Una función \( f: X \to Y \) se dice inyectiva si a valores distintos les corresponden imágenes distintas. En otras palabras, si dos elementos de \( X \) son distintos, sus imágenes mediante \( f \) también son distintas. En términos matemáticos, la función es inyectiva si:
\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]
Otra forma de decir que una función es inyectiva es que, si dos elementos son mapeados al mismo valor, deben ser iguales. Es decir:
\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]
Un ejemplo de función inyectiva es la función \( f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = x^3 \). Veamos por qué esta función es inyectiva:
- Si \( x_1 \neq x_2 \), entonces \( x_1^3 \neq x_2^3 \), lo que significa que las imágenes de \( x_1 \) y \( x_2 \) son distintas.
- En otras palabras, para cada par de valores distintos \( x_1 \) y \( x_2 \) pertenecientes a \( \mathbb{R} \), sus cubos nunca serán iguales.
Funciones No Inyectivas
No todas las funciones son inyectivas. Una función se dice no inyectiva cuando existen al menos dos elementos distintos de \( X \) que tienen la misma imagen en \( Y \). En otras palabras, existen \( x_1 \neq x_2 \) tales que \( f(x_1) = f(x_2) \).
Algunos ejemplos de funciones no inyectivas incluyen:
- La función cuadrática \( f(x) = x^2 \), que no es inyectiva en \( \mathbb{R} \). De hecho, \( f(2) = f(-2) = 4 \), pero \( 2 \neq -2 \), por lo que \( f(x) = x^2 \) no es inyectiva.
- La función seno \( f(x) = \sin(x) \), que no es inyectiva en \( \mathbb{R} \), porque \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), pero \( 0 \neq \pi \), por lo que no es inyectiva.
Ejercicios sobre Funciones Inyectivas
Ejercicio 1: Determina si la función \( f(x) = 2x + 3 \) es inyectiva.
Solución: La función es inyectiva si, para cada par de valores distintos \( x_1 \) y \( x_2 \), las imágenes \( f(x_1) \) y \( f(x_2) \) son distintas. Supongamos que \( f(x_1) = f(x_2) \), es decir:
\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]
Restando 3 en ambos miembros obtenemos:
\[ 2x_1 = 2x_2 \]
Dividiendo entre 2:
\[ x_1 = x_2 \]
Como \( x_1 = x_2 \), la función es inyectiva.
Ejercicio 2: Determina si la función \( f(x) = x^2 \) es inyectiva en \( \mathbb{R} \).
Solución: La función \( f(x) = x^2 \) no es inyectiva en \( \mathbb{R} \). De hecho, consideremos los valores \( x_1 = -2 \) y \( x_2 = 2 \). Ambos satisfacen \( f(x_1) = f(x_2) \), es decir:
\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \]
Pero \( -2 \neq 2 \), por lo que la función no es inyectiva. La función es inyectiva solo si se define en \( \mathbb{R}^+ \) o \( \mathbb{R}^- \), ya que en estos dominios cada número tiene un cuadrado positivo único.
Ejercicio 3: Verifica si la función \( f(x) = \sin(x) \) es inyectiva en \( \mathbb{R} \).
Solución: La función \( f(x) = \sin(x) \) no es inyectiva en \( \mathbb{R} \), ya que existen varios valores de \( x \) que dan el mismo resultado. Por ejemplo, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), pero \( 0 \neq \pi \). Por lo tanto, la función no es inyectiva en \( \mathbb{R} \). Si limitamos el dominio de la función, por ejemplo, a \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \), la función sería inyectiva.
Ejercicio 4: Determina si la función \( f(x) = \ln(x) \) es inyectiva en el dominio \( (0, \infty) \).
Solución: La función \( f(x) = \ln(x) \) es inyectiva en el dominio \( (0, \infty) \), ya que, si \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), entonces necesariamente \( x_1 = x_2 \). Esto es cierto para todos los valores de \( x_1 \) y \( x_2 \) pertenecientes al dominio \( (0, \infty) \).
Ejercicio 5: Verifica si la función \( f(x) = \frac{1}{x} \) es inyectiva en \( \mathbb{R}^* \) (todos los reales excepto 0).
Solución: La función \( f(x) = \frac{1}{x} \) es inyectiva en \( \mathbb{R}^* \), porque si \( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \), entonces \( x_1 = x_2 \), ya que los números no pueden ser iguales a menos que las fracciones lo sean.
Funciones Sobreyectivas
Una función \( f: X \to Y \) es sobreyectiva si, para cada \( y \in Y \), existe al menos un \( x \in X \) tal que:
\[ f(x) = y \]
En otras palabras, una función es sobreyectiva si cada elemento del codominio \( Y \) es la imagen de al menos un elemento de \( X \).
Un ejemplo de función sobreyectiva es la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida como \( f(x) = x^3 \). Veamos por qué esta función es sobreyectiva:
- Para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe un \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( x^3 = y \). Por ejemplo, si \( y = 8 \), entonces \( x = 2 \) ya que \( 2^3 = 8 \).
- En general, para cada valor de \( y \), existe un valor \( x \) que satisface \( x^3 = y \), por lo tanto la función es sobreyectiva.
Funciones No Sobreyectivas
Una función se dice no sobreyectiva si existe al menos un elemento \( y \in Y \) que no es imagen de ningún elemento \( x \in X \). En otras palabras, existen valores en el codominio \( Y \) que no son imagen de ningún elemento en el dominio \( X \).
Ejemplos de funciones no sobreyectivas incluyen:
- La función \( f(x) = x^2 \) definida en \( \mathbb{R} \). El codominio de esta función es \( \mathbb{R}^+ \) (los números reales no negativos), por lo que no existen valores de \( x \) que den resultados negativos. Por ejemplo, no existe ningún \( x \) tal que \( f(x) = -1 \), por lo que la función no es sobreyectiva en \( \mathbb{R} \).
- La función \( f(x) = \sin(x) \), definida en \( \mathbb{R} \), tiene como codominio el intervalo \( [-1, 1] \). Por lo tanto, por ejemplo, no existe ningún valor de \( x \) que pueda dar \( f(x) = 2 \), por lo que la función no es sobreyectiva en \( \mathbb{R} \).
Ejercicios sobre Funciones Sobreyectivas
Ejercicio 1: Determina si la función \( f(x) = 2x + 3 \) es sobreyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Solución: La función es sobreyectiva si para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe un \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( f(x) = y \). Supongamos que tenemos \( y \in \mathbb{R} \). Resolviendo la ecuación \( f(x) = 2x + 3 = y \), obtenemos:
\[ 2x = y - 3 \]
\[ x = \frac{y - 3}{2} \]
Como \( x \) existe para cada \( y \in \mathbb{R} \), la función es sobreyectiva.
Ejercicio 2: Determina si la función \( f(x) = x^2 \) es sobreyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Solución: La función \( f(x) = x^2 \) no es sobreyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), porque no existen valores de \( x \) tales que \( f(x) = -1 \) (ya que el cuadrado de un número real siempre es no negativo). El codominio de esta función es \( \mathbb{R}^+ \), por lo que no es sobreyectiva en \( \mathbb{R} \).
Ejercicio 3: Verifica si la función \( f(x) = \sin(x) \) es sobreyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Solución: La función \( f(x) = \sin(x) \) no es sobreyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), porque el valor de \( \sin(x) \) está limitado al intervalo \( [-1, 1] \). Por lo tanto, no existen valores de \( x \) que puedan dar \( \sin(x) = 2 \), por lo que no es sobreyectiva en \( \mathbb{R} \).
Algunos Ejemplos
Ejercicio 4: Determina si la función \( f(x) = \ln(x) \) es sobreyectiva sobre \( (0, \infty) \) de \( (0, \infty) \) a \( \mathbb{R} \).
Solución: La función \( f(x) = \ln(x) \) es sobreyectiva de \( (0, \infty) \) a \( \mathbb{R} \), ya que para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe un \( x \in (0, \infty) \) tal que \( \ln(x) = y \). De hecho, si \( y \in \mathbb{R} \), podemos encontrar \( x = e^y \) tal que \( \ln(x) = y \).
Ejercicio 5: Verifica si la función \( f(x) = \frac{1}{x} \) es sobreyectiva sobre \( \mathbb{R}^* \) (todos los reales excepto 0) de \( \mathbb{R}^* \) a \( \mathbb{R}^* \).
Solución: La función \( f(x) = \frac{1}{x} \) es sobreyectiva sobre \( \mathbb{R}^* \), ya que para cada \( y \in \mathbb{R}^* \), existe un \( x \in \mathbb{R}^* \) tal que \( \frac{1}{x} = y \). De hecho, si \( y \in \mathbb{R}^* \), podemos encontrar \( x = \frac{1}{y} \) tal que \( f(x) = y \).
Funciones Biyectivas
Una función \( f \) se dice biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. En tal caso, \( f \) establece una correspondencia biunívoca entre los elementos del dominio y los del codominio, y admite una función inversa:
\[ f^{-1}: Y \to X \]
Dicha inversa satisface la relación:
\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{donde} \quad f(x) = y \]
La función inversa \( f^{-1} \) está definida para cada \( y \in Y \), y es tanto una función inversa derecha como izquierda, ya que para cada \( y \in Y \) satisface las siguientes identidades:
\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{y} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]
Ejemplo de Función Biyectiva
Consideremos la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = 2x + 1 \). Verifiquemos que esta función es biyectiva:
- La función es inyectiva: supongamos que \( f(x_1) = f(x_2) \), es decir, \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). Resolviendo, obtenemos \( x_1 = x_2 \), por lo que la función es inyectiva.
- La función es sobreyectiva: para cada \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver la ecuación \( 2x + 1 = y \), obteniendo \( x = \frac{y - 1}{2} \), que es un valor real para cada \( y \in \mathbb{R} \). Por lo tanto, la función es sobreyectiva.
- Como la función es tanto inyectiva como sobreyectiva, es biyectiva y admite una función inversa \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \).
Función Inversa
La función inversa \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \) satisface las siguientes identidades:
- Para cada \( y \in \mathbb{R} \), \( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{y - 1}{2}\right) + 1 = y \), por lo que la relación \( f(f^{-1}(y)) = y \) está satisfecha.
- Para cada \( x \in \mathbb{R} \), \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \), por lo que la relación \( f^{-1}(f(x)) = x \) está satisfecha.
Ejemplo de Función No Biyectiva
Consideremos la función \( f(x) = x^2 \) definida sobre \( \mathbb{R} \). Esta función no es biyectiva, ya que:
- No es inyectiva: por ejemplo, \( f(2) = 4 \) y \( f(-2) = 4 \), pero \( 2 \neq -2 \), por lo que la función no es inyectiva.
- No es sobreyectiva: por ejemplo, no existe ningún \( x \) tal que \( f(x) = -1 \), por lo que la función no es sobreyectiva sobre \( \mathbb{R} \).
- Como no es ni inyectiva ni sobreyectiva, no es biyectiva y, por lo tanto, no admite una función inversa sobre \( \mathbb{R} \).
Ejercicios sobre Funciones Biyectivas
Ejercicio 1: Determina si la función \( f(x) = 3x - 4 \) es biyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Si es biyectiva, escribe la función inversa.
Solución: La función es inyectiva porque si \( f(x_1) = f(x_2) \), es decir, \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), obtenemos \( x_1 = x_2 \). Además, es sobreyectiva porque para cada \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver \( 3x - 4 = y \) para obtener \( x = \frac{y + 4}{3} \). Por lo tanto, la función es biyectiva y su inversa es \( f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3} \).
Ejercicio 2: Verifica si la función \( f(x) = x^2 \) es biyectiva de \( \mathbb{R}^+ \) a \( \mathbb{R}^+ \).
Solución: La función es inyectiva sobre \( \mathbb{R}^+ \) porque \( x_1^2 = x_2^2 \) implica \( x_1 = x_2 \) para \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+ \). También es sobreyectiva sobre \( \mathbb{R}^+ \), ya que para cada \( y \in \mathbb{R}^+ \), existe un \( x = \sqrt{y} \) tal que \( f(x) = y \). Por lo tanto, la función es biyectiva sobre \( \mathbb{R}^+ \) y su inversa es \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).
Ejercicio 3: Determina si la función \( f(x) = x^3 \) es biyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Escribe la función inversa.
Solución: La función \( f(x) = x^3 \) es tanto inyectiva (porque \( x_1^3 = x_2^3 \) implica \( x_1 = x_2 \)) como sobreyectiva (para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe un \( x = \sqrt[3]{y} \) tal que \( f(x) = y \)). Por lo tanto, la función es biyectiva y su inversa es \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).
Ejercicios Adicionales
Ejercicio 4: Verifica si la función \( f(x) = e^x \) es biyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( (0, \infty) \).
Solución: La función \( f(x) = e^x \) es inyectiva (porque \( e^{x_1} = e^{x_2} \) implica \( x_1 = x_2 \)) y sobreyectiva sobre \( (0, \infty) \), ya que para cada \( y \in (0, \infty) \), existe un \( x = \ln(y) \) tal que \( f(x) = y \). Por lo tanto, la función es biyectiva y su inversa es \( f^{-1}(y) = \ln(y) \).
Ejercicio 5: Determina si la función \( f(x) = x + 2 \) es biyectiva de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).
Solución: La función \( f(x) = x + 2 \) es biyectiva, ya que es tanto inyectiva como sobreyectiva. La función inversa es \( f^{-1}(y) = y - 2 \).
Restricción de una Función
La restricción de una función es un concepto de fundamental importancia, que permite restringir el dominio de una función a un subconjunto específico. Esta operación es especialmente útil cuando se desea garantizar que una función sea inyectiva y sobreyectiva, condiciones necesarias para la invertibilidad. Por ejemplo, consideremos la función cuadrática \( f(x) = x^2 \), la cual no es inyectiva sobre \( \mathbb{R} \) porque para cada \( y > 0 \) existen dos preimágenes \( x_1 = \sqrt{y} \) y \( x_2 = -\sqrt{y} \). Sin embargo, al restringir el dominio a \( [0, +\infty) \), obtenemos una función inyectiva, permitiendo así la existencia de una función inversa definida.
Ejemplo de Restricción: Función Cuadrática
Consideremos la función \( f(x) = x^2 \) definida sobre \( \mathbb{R} \). Esta función no es inyectiva, ya que existen dos valores distintos \( x_1 \) y \( x_2 \) tales que \( f(x_1) = f(x_2) \). Por ejemplo, \( f(2) = f(-2) = 4 \). Sin embargo, si restringimos el dominio de \( f(x) \) al subconjunto \( [0, +\infty) \), la función se vuelve inyectiva. De hecho, para \( x_1, x_2 \in [0, +\infty) \), la igualdad \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \), lo que garantiza que la función ahora sea inyectiva.
La restricción de la función a \( [0, +\infty) \) hace que la función sea inyectiva, y podemos definir su función inversa:
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]
Otros Ejemplos de Restricción
La restricción de una función puede aplicarse en diversos contextos para simplificar el comportamiento de la función o para adaptarla a un contexto específico:
- Si \( f(x) = \sin(x) \) sobre \( \mathbb{R} \), podemos restringir el dominio a \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) para hacerla inyectiva. En este caso, la función inversa será \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).
- Si \( f(x) = \tan(x) \), definida sobre \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), la función es inyectiva y sobreyectiva sobre este dominio, y su inversa es \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).
Ejercicios sobre la Restricción de Funciones
Ejercicio 1: Determina si la función \( f(x) = x^3 \) es inyectiva en \( \mathbb{R} \). Luego, restringe el dominio para que la función sea biyectiva y encuentra su función inversa.
Solución: La función \( f(x) = x^3 \) ya es inyectiva en \( \mathbb{R} \), ya que \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \). No es necesario hacer ninguna restricción, y la función inversa es \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).
Ejercicio 2: La función \( f(x) = x^2 \) no es inyectiva en \( \mathbb{R} \). Restringe el dominio a un intervalo en el que la función sea inyectiva y encuentra la función inversa.
Solución: Para hacer que la función sea inyectiva, restringimos el dominio a \( [0, +\infty) \). En este caso, la función inversa será \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \), con \( y \geq 0 \).
Ejercicio 3: Considera la función \( f(x) = \ln(x) \) definida en \( (0,+\infty) \). Restringe el dominio a \( [1,+\infty) \) y escribe la función inversa.
Solución: La función logaritmo es inyectiva y sobreyectiva en \( (0,+\infty) \) (con codominio \( \mathbb{R} \)). Si restringimos el dominio a \( [1,+\infty) \), la imagen se convierte en \( [0,+\infty) \) (ya que \( \ln(1)=0 \) y \( \ln(x) \) es estrictamente creciente). En consecuencia, la función inversa es:
$$ f^{-1}(y)=e^y, \quad y\in [0,+\infty). $$
Ejercicio 4: La función \( f(x) = \sin(x) \) no es inyectiva en \( \mathbb{R} \). Restringe el dominio a un intervalo en el que la función sea inyectiva y encuentra la función inversa.
Solución: La función \( f(x) = \sin(x) \) es inyectiva en \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). La función inversa será \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).
La restricción de una función permite manipular el dominio de una función para obtener propiedades deseadas, como la inyectividad, la sobreyectividad o la biyectividad.