Definición de Función (Matemáticas): Fórmulas, Propiedades y Ejercicios Resueltos

Una función es una relación entre dos conjuntos, que asigna a cada elemento del primer conjunto (llamado dominio) un único elemento del segundo conjunto (llamado codominio). En este artículo, analizaremos la definición formal de dominio, codominio, la imagen y las propiedades más importantes como la inyectividad, la suryectividad y la biyectividad.

Índice

• Definición de Función
• Dominio, Codominio e Imagen
• Ejemplos de Funciones
• Propiedades de las Funciones
• Funciones Inyectivas
• Funciones No Inyectivas
• Ejercicios sobre Funciones Inyectivas
• Funciones Suryectivas
• Funciones No Suryectivas
• Ejercicios sobre Funciones Suryectivas
• Algunos Ejemplos
• Funciones Biyectivas
• Función Inversa
• Ejercicios sobre Funciones Biyectivas
• Restricción de una Función
• Ejercicios sobre Restricción de Funciones

Formalmente, una función es una correspondencia (o aplicación) que asigna a cada elemento de un conjunto \( X \) (llamado dominio) un único elemento de otro conjunto \( Y \) (llamado codominio). La notación habitual es la siguiente:

\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]

O bien:

\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]

Esto significa que la función \( f \) está definida en el conjunto \( X \), y que sus valores pertenecen al conjunto \( Y \). La expresión \( f(x) \) representa el valor \( y \in Y \) que está asociado a cada \( x \in X \) mediante la regla de correspondencia definida por \( f \).

Como mencionamos anteriormente, el dominio de una función \( f \) es el conjunto \( X \) formado por todos los elementos para los cuales la función está definida. Por ejemplo, consideremos la función:

\[ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2 + 1} \]

Esta función está definida en todo el conjunto de los números reales, es decir, \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). En cambio, su imagen es el conjunto de valores que la función efectivamente toma. En este caso, se tiene: \( \text{Im}(f) = (0, 1] \).

El codominio es el conjunto \( Y \) que contiene todos los valores que podrían ser alcanzados por la función, aunque no todos estos valores se logren necesariamente. La imagen (también llamada recorrido) de una función \( f \) es el subconjunto de \( Y \) formado por los valores que efectivamente se obtienen a través de la función, y se define como:

\[ \text{Im}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \text{ tal que } f(x) = y \} \]

Un ejemplo clásico de función es la función lineal, que representa una recta en el plano cartesiano. Su ecuación puede escribirse de la siguiente forma:

\[ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]

donde \( m \) y \( q \) son constantes reales. Otro ejemplo importante es la función cuadrática, que representa una parábola y se expresa como:

\[ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]

Las funciones pueden presentar ciertas propiedades fundamentales que permiten clasificarlas y analizarlas con mayor precisión. En particular, se distinguen funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas, en función de cómo se relacionan los elementos del dominio con los del codominio.

Una función \( f : X \to Y \) se denomina inyectiva (o inyección) si a valores distintos del dominio les corresponden imágenes distintas en el codominio. Es decir, si dos elementos de \( X \) son diferentes, entonces sus imágenes mediante \( f \) también lo son. Formalmente:

\[ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \]

De forma equivalente, si dos elementos tienen la misma imagen, entonces deben ser iguales:

\[ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \]

Consideremos, por ejemplo, la función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^3 \). Veamos por qué es inyectiva:

• Si \( x_1 \neq x_2 \), entonces \( x_1^3 \neq x_2^3 \), lo que implica que \( f(x_1) \neq f(x_2) \).
• Por lo tanto, para cualquier par \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \), si \( f(x_1) = f(x_2) \) entonces necesariamente \( x_1 = x_2 \).

No todas las funciones son inyectivas. Una función se dice no inyectiva cuando existen al menos dos elementos distintos de \( X \) que tienen la misma imagen en \( Y \). Es decir, existen \( x_1 \neq x_2 \) tales que:

\[ f(x_1) = f(x_2) \]

Ejemplos típicos de funciones no inyectivas son:

• La función cuadrática \( f(x) = x^2 \), que no es inyectiva en \( \mathbb{R} \), ya que \( f(2) = f(-2) = 4 \), pero \( 2 \neq -2 \).
• La función seno \( f(x) = \sin(x) \), que tampoco es inyectiva en \( \mathbb{R} \), porque \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), y \( 0 \neq \pi \).

Ejercicio 1: Determina si la función \( f(x) = 2x + 3 \) es inyectiva.

Solución: Supongamos que \( f(x_1) = f(x_2) \), es decir:

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]

Restando 3 a ambos lados:

\[ 2x_1 = 2x_2 \]

Dividiendo entre 2:

\[ x_1 = x_2 \]

Por lo tanto, la función es inyectiva.

Ejercicio 2: Determina si \( f(x) = x^2 \) es inyectiva en \( \mathbb{R} \).

Solución: No es inyectiva, ya que, por ejemplo:

\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \quad \text{pero} \quad -2 \neq 2 \]

La función sí sería inyectiva si se restringe su dominio a \( \mathbb{R}^+ \) o \( \mathbb{R}^- \).

Ejercicio 3: Verifica si \( f(x) = \sin(x) \) es inyectiva en \( \mathbb{R} \).

Solución: No. La función seno no es inyectiva en \( \mathbb{R} \), ya que:

\[ \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \quad \text{y} \quad 0 \neq \pi \]

Sin embargo, si restringimos el dominio a \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \), entonces sí es inyectiva.

Ejercicio 4: ¿Es inyectiva la función \( f(x) = \ln(x) \) en \( (0, \infty) \)?

Solución: Sí. Si \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), entonces \( x_1 = x_2 \). La función logaritmo natural es estrictamente creciente en su dominio.

Ejercicio 5: Verifica si \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) es inyectiva en \( \mathbb{R}^* \).

Solución: Sí. Si \( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \), entonces \( x_1 = x_2 \). Por lo tanto, la función es inyectiva en \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Una función \( f : X \to Y \) se denomina suryectiva (o suryectiva) si, para todo elemento \( y \in Y \), existe al menos un elemento \( x \in X \) tal que:

\[ f(x) = y \]

Es decir, cada elemento del codominio \( Y \) es imagen de al menos un elemento del dominio \( X \). En este caso, la imagen de la función coincide con todo el codominio.

Un ejemplo típico de función suryectiva es \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^3 \). Veamos por qué:

• Para todo \( y \in \mathbb{R} \), existe \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( x^3 = y \). Por ejemplo, si \( y = 8 \), entonces \( x = 2 \), ya que \( 2^3 = 8 \).
• En general, cualquier número real tiene una raíz cúbica real. Por lo tanto, la función es suryectiva.

Una función se dice no suryectiva cuando existe al menos un elemento \( y \in Y \) que no es imagen de ningún \( x \in X \). En otras palabras, hay valores en el codominio que nunca se alcanzan mediante la función.

Algunos ejemplos de funciones no suryectivas son:

• La función \( f(x) = x^2 \), definida en \( \mathbb{R} \), no es suryectiva si el codominio es \( \mathbb{R} \), ya que no existen valores de \( x \in \mathbb{R} \) tales que \( x^2 = -1 \).
• La función \( f(x) = \sin(x) \), definida en \( \mathbb{R} \), tiene como imagen el intervalo \( [-1, 1] \). Por tanto, valores como \( 2 \in \mathbb{R} \) no son alcanzados por ningún \( x \in \mathbb{R} \), y la función no es suryectiva sobre \( \mathbb{R} \).

Ejercicio 1: Determina si la función \( f(x) = 2x + 3 \) es suryectiva de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \).

Solución: Sea \( y \in \mathbb{R} \). Queremos encontrar un \( x \in \mathbb{R} \) tal que:

\[ 2x + 3 = y \Rightarrow x = \frac{y - 3}{2} \]

Como para cualquier \( y \in \mathbb{R} \) existe un \( x \in \mathbb{R} \) que cumple la ecuación, la función es suryectiva.

Ejercicio 2: Determina si \( f(x) = x^2 \) es suryectiva de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \).

Solución: No. Por ejemplo, no existe ningún \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( x^2 = -1 \). La imagen de la función es \( [0, +\infty) \), por lo tanto no cubre todo \( \mathbb{R} \).

Ejercicio 3: Verifica si \( f(x) = \sin(x) \) es suryectiva de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \).

Solución: No. La imagen de \( f(x) = \sin(x) \) es \( [-1, 1] \), así que no puede alcanzar valores como \( 2 \). Por tanto, no es suryectiva sobre \( \mathbb{R} \).

Ejercicio 4: ¿Es suryectiva la función \( f(x) = \ln(x) \) sobre \( \mathbb{R} \)?

Solución: Sí. La función logaritmo natural está definida en \( (0, +\infty) \) y su imagen es \( \mathbb{R} \). Para cualquier \( y \in \mathbb{R} \), podemos encontrar \( x = e^y \) tal que \( \ln(x) = y \).

Ejercicio 5: ¿Es suryectiva la función \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) de \( \mathbb{R}^* \) en \( \mathbb{R}^* \)?

Solución: Sí. Para cualquier \( y \in \mathbb{R}^* \), existe \( x = \displaystyle \frac{1}{y} \in \mathbb{R}^* \) tal que \( f(x) = y \). La función es por tanto suryectiva sobre \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Una función \( f \) se dice biyectiva si es tanto inyectiva como suryectiva. En este caso, establece una correspondencia biunívoca entre los elementos del dominio y los del codominio, y admite una función inversa:

\[ f^{-1}: Y \to X \]

Esta inversa cumple con la relación:

\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{donde} \quad f(x) = y \]

La función inversa \( f^{-1} \) está definida para todo \( y \in Y \) y satisface las siguientes igualdades:

\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{y} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

Ejemplo de Función Biyectiva

Consideremos la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = 2x + 1 \). Comprobemos que es biyectiva:

• Es inyectiva: si \( f(x_1) = f(x_2) \), entonces \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \), lo que implica que \( x_1 = x_2 \).
• Es suryectiva: para cualquier \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver \( 2x + 1 = y \), obteniendo \( x = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \), que es un número real.
• Como cumple ambas condiciones, es biyectiva y su inversa es: \[ f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \]

La función inversa \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \) cumple con las siguientes igualdades fundamentales:

• Para todo \( y \in \mathbb{R} \): \[ f(f^{-1}(y)) = f\left( \frac{y - 1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{y - 1}{2} + 1 = y \]
• Para todo \( x \in \mathbb{R} \): \[ f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \]

Ejemplo de Función No Biyectiva

Consideremos la función \( f(x) = x^2 \) definida sobre \( \mathbb{R} \). Esta función no es biyectiva, ya que:

• No es inyectiva: por ejemplo, \( f(2) = 4 \) y \( f(-2) = 4 \), pero \( 2 \neq -2 \).
• No es suryectiva: no existe ningún valor \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( f(x) = -1 \).
• Como no cumple ni inyectividad ni suryectividad, no es biyectiva y no posee inversa sobre \( \mathbb{R} \).

Ejercicio 1: Determina si la función \( f(x) = 3x - 4 \) es biyectiva de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \). Si lo es, encuentra su inversa.

Solución:

• Es inyectiva: si \( f(x_1) = f(x_2) \), entonces \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), lo que implica \( x_1 = x_2 \).
• Es suryectiva: para cualquier \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver \( 3x - 4 = y \), obteniendo: \[ x = \frac{y + 4}{3} \]
• Por lo tanto, la función es biyectiva y su inversa es: \[ f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3} \]

Ejercicio 2: ¿Es biyectiva la función \( f(x) = x^2 \) en \( \mathbb{R}^+ \)? Si lo es, da su inversa.

Solución:

• Es inyectiva en \( \mathbb{R}^+ \), ya que \( x^2 \) es estrictamente creciente en este intervalo.
• Es suryectiva en \( \mathbb{R}^+ \): para cualquier \( y \geq 0 \), existe \( x = \sqrt{y} \).
• Por tanto, es biyectiva y su inversa es: \[ f^{-1}(y) = \sqrt{y} \]

Ejercicio 3: ¿Es biyectiva la función \( f(x) = x^3 \) de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \)? Encuentra su inversa.

Solución:

• Es inyectiva porque \( x^3 \) es estrictamente creciente.
• Es suryectiva porque todo \( y \in \mathbb{R} \) tiene una raíz cúbica.
• Por tanto, es biyectiva y su inversa es: \[ f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \]

Ejercicios Adicionales

Ejercicio 4: ¿Es biyectiva la función \( f(x) = e^x \) de \( \mathbb{R} \) en \( (0, +\infty) \)?

Solución:

• Es inyectiva, ya que \( e^x \) es estrictamente creciente.
• Es suryectiva: para cualquier \( y > 0 \), existe \( x = \ln(y) \) tal que \( f(x) = y \).
• Es biyectiva y su inversa es: \[ f^{-1}(y) = \ln(y) \]

Ejercicio 5: ¿Es biyectiva la función \( f(x) = x + 2 \) de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \)?

Solución: Sí. Es inyectiva (creciente) y suryectiva (cubre todo \( \mathbb{R} \)). La inversa es:

\[ f^{-1}(y) = y - 2 \]

La restricción de una función es un concepto fundamental que consiste en limitar el dominio de una función a un subconjunto determinado. Esta operación es especialmente útil cuando se desea garantizar que una función sea inyectiva o biyectiva, condiciones necesarias para que exista una función inversa.

Por ejemplo, consideremos la función cuadrática \( f(x) = x^2 \), que no es inyectiva en \( \mathbb{R} \), ya que para todo \( y > 0 \) existen dos preimágenes: \( x_1 = \sqrt{y} \) y \( x_2 = -\sqrt{y} \). Sin embargo, si restringimos el dominio a \( [0, +\infty) \), la función se vuelve inyectiva, lo que permite definir una inversa.

Ejemplo de Restricción: Función Cuadrática

Consideremos la función \( f(x) = x^2 \) definida en \( \mathbb{R} \). Esta función no es inyectiva, ya que existen valores distintos \( x_1 \) y \( x_2 \) tales que \( f(x_1) = f(x_2) \). Por ejemplo:

\[ f(2) = f(-2) = 4 \]

Sin embargo, si restringimos el dominio de \( f(x) \) al intervalo \( [0, +\infty) \), la función se vuelve estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. En ese caso, se puede definir su inversa como:

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0 \]

Otros Ejemplos de Restricción

La restricción de una función puede aplicarse en distintos contextos para simplificar su comportamiento o adaptarla a una situación específica:

• Si \( f(x) = \sin(x) \) está definida en \( \mathbb{R} \), puede restringirse a \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) para que sea inyectiva. En ese intervalo, la función inversa es \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).
• La función \( f(x) = \tan(x) \), definida en \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \), es inyectiva y suryectiva en ese intervalo. Su inversa es \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).

Ejercicio 1: ¿Es inyectiva la función \( f(x) = x^3 \) en \( \mathbb{R} \)? En caso afirmativo, ¿es biyectiva? Encuentra su inversa.

Solución: La función \( f(x) = x^3 \) es estrictamente creciente en \( \mathbb{R} \), por lo tanto es inyectiva. Además, para todo \( y \in \mathbb{R} \), existe \( x = \sqrt[3]{y} \), por lo que también es suryectiva. Es biyectiva y su inversa es:

\[ f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \]

Ejercicio 2: La función \( f(x) = x^2 \) no es inyectiva en \( \mathbb{R} \). Restringe su dominio para que sea inyectiva y encuentra la inversa.

Solución: Si restringimos el dominio a \( [0, +\infty) \), la función se vuelve inyectiva. La función inversa correspondiente es:

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0 \]

Ejercicio 3: Considera la función \( f(x) = \ln(x) \), definida en \( (0, +\infty) \). Restringe su dominio a \( [1, +\infty) \) y determina la nueva imagen, así como la inversa.

Solución: La función \( \ln(x) \) es estrictamente creciente. En \( [1, +\infty) \), se tiene \( \ln(1) = 0 \) y \( \ln(x) \to +\infty \). Por lo tanto, la imagen es \( [0, +\infty) \), y la inversa es:

\[ f^{-1}(y) = e^y, \quad y \in [0, +\infty) \]

Ejercicio 4: La función \( f(x) = \sin(x) \) no es inyectiva en \( \mathbb{R} \). Restringe el dominio para que sea inyectiva y determina su inversa.

Solución: Si restringimos el dominio a \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \), la función seno se vuelve estrictamente creciente y por tanto inyectiva. Su inversa es:

\[ f^{-1}(y) = \arcsin(y), \quad y \in [-1, 1] \]

La restricción del dominio es una herramienta clave para garantizar propiedades como la inyectividad, la biyectividad o la existencia de inversas.