En análisis matemático, una sucesión es una ley que asocia a cada número natural \( n \in \mathbb{N} \) un elemento \( a_n \) perteneciente a un conjunto \( X \). En otros términos, una sucesión es una función definida sobre el conjunto de los números naturales con valores en \( X \).
Definición
Formalmente, una sucesión se define como una función:
\begin{align} a \,\, : \,\, &\mathbb{N} \rightarrow X \\ & n \rightarrow a(n) \end{align}
En esta definición, \( \mathbb{N} \) indica el conjunto de los números naturales, es decir \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} \). El conjunto \( X \) representa el conjunto de llegada, que puede ser el conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \), de los números complejos \( \mathbb{C} \), de los números enteros \( \mathbb{Z} \) u otro conjunto numérico o no numérico.
La función \( a \) asocia a cada número natural \( n \) un elemento \( a(n) \) perteneciente al conjunto \( X \). El valor \( a(n) \) se denomina término \( n \)-ésimo de la sucesión y se denota habitualmente como \( a_n \), es decir \( a_n = a(n) \). El término \( a_n \) indica por tanto el valor asumido por la sucesión en correspondencia con el índice \( n \).
Una sucesión puede representarse explícitamente mediante la lista ordenada de sus términos:
\[ a_0, a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \]
La notación más utilizada para indicar una sucesión es \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) o, alternativamente, \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Ambas escrituras expresan el hecho de que la sucesión está compuesta por los términos \( a_n \) para cada \( n \in \mathbb{N} \).
En el caso de que el conjunto \( X \) esté constituido por los números reales \( \mathbb{R} \) o complejos \( \mathbb{C} \), la sucesión se denomina numérica. Más precisamente, si \( X = \mathbb{R} \), la sucesión se denomina sucesión real, mientras que si \( X = \mathbb{C} \), se habla de sucesión compleja.
Por ejemplo, la sucesión definida por \( a_n = \frac{1}{n} \) con \( n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) es una sucesión real, ya que cada término pertenece al conjunto de los números reales.
Las sucesiones también pueden tener valores en conjuntos no numéricos. Es posible definir sucesiones de vectores, matrices o elementos de un alfabeto, dependiendo del contexto de estudio.
Desde el punto de vista gráfico, las sucesiones numéricas pueden representarse asociando a cada índice \( n \) el valor correspondiente del término \( a_n \). Esta representación permite visualizar el comportamiento de la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión definida por \( a_n = n^2 \) puede representarse gráficamente como una serie de puntos, cuyos valores aumentan siguiendo un crecimiento cuadrático:
\[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots \]
Ejemplos
Sucesiones Recursivas
Una sucesión recursiva se define especificando los valores iniciales y una regla que permite calcular cada término sucesivo a partir del anterior. Por ejemplo, el factorial de un número natural \( n \) se define como:
\[ 0! = 1 \quad, \quad n! = n\cdot (n-1)! \]
De manera similar, la potencia de 2 también puede definirse recursivamente:
\[ 2^0 = 1 \quad , \quad 2^n = 2 \cdot 2^{n-1} \]
Más generalmente, para cada \( 0 \neq x \in \mathbb{R} \), tenemos:
\[ x^0 = 1 \quad , \quad x^n = x\cdot x^{n-1} \]
Otro ejemplo común es la sucesión de Fibonacci, definida como:
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \quad , \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \]
Se define sucesión finita una sucesión constituida por un número finito de términos, es decir, si existe un \( N \in \mathbb{N} \) tal que \( a_n \) está definido solo para \( n \leq N \). Por el contrario, se habla de sucesión infinita si \( a_n \) está definido para cada \( n \in \mathbb{N} \).
Las sucesiones infinitas son las más utilizadas en análisis matemático y representan una herramienta esencial para el estudio de las series, las funciones y los límites.
Sucesiones Monótonas
Una sucesión se dice monótona si sus términos mantienen un comportamiento constante, es decir, si son no decrecientes o no crecientes. La monotonía de una sucesión puede manifestarse en dos formas distintas.
Sucesión Creciente
Se define sucesión creciente una sucesión en la que cada término es menor o igual al término siguiente. Formalmente, la sucesión \( \{ a_n \} \) es creciente si:
\[ a_n \leq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Si la desigualdad es estricta, es decir, si \( a_n < a_{n+1} \) para cada \( n \), la sucesión se dice estrictamente creciente.
Ejemplo: La sucesión \( a_n = n \) es estrictamente creciente, ya que:
\[ 0 < 1 < 2 < 3 < \dots \]
Sucesión Decreciente
Una sucesión se dice decreciente si cada término es mayor o igual al siguiente. Formalmente:
\[ a_n \geq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Si la desigualdad es estricta, es decir, si \( a_n > a_{n+1} \) para cada \( n \), la sucesión se dice estrictamente decreciente.
Un ejemplo de sucesión decreciente es \( a_n = \frac{1}{n} \), que toma los valores:
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Sucesiones Acotadas
Una sucesión \( \{ a_n \} \) se dice acotada si existe un número real \( M \) tal que:
\[ |a_n| \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
En este caso, \( M \) se denomina cota superior de la sucesión. Si en cambio vale:
\[ m \leq a_n \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
entonces la sucesión se dice acotada superior e inferiormente, donde \( M \) es una cota superior y \( m \) una cota inferior.
Por ejemplo, la sucesión \( a_n = (-1)^n \) está acotada, ya que sus términos oscilan entre \( -1 \) y \( 1 \).
Sucesiones No Acotadas
Una sucesión se denomina no acotada si sus términos crecen o decrecen indefinidamente. Formalmente, \( \{ a_n \} \) es no acotada si:
\[ \forall M \in \mathbb{R}, \; \exists n \in \mathbb{N} \; \text{tal que} \; |a_n| > M \]
Un ejemplo es la sucesión \( a_n = n \), que no está acotada superiormente.
Sucesiones Oscilantes
Se define oscilante una sucesión cuyos términos no tienden a estabilizarse ni a crecer o decrecer de manera monótona, sino que varían continuamente.
Por ejemplo, la sucesión \( a_n = (-1)^n \) oscila entre \( 1 \) y \( -1 \) sin converger hacia un valor definido.
Esta sucesión es tanto oscilante como acotada.
Sucesiones Constantes
Una sucesión constante es un caso particular de sucesión monótona en la que todos los términos son iguales. Formalmente, una sucesión es constante si:
\[ a_n = c \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Un ejemplo simple es la sucesión \( a_n = 5 \), que produce la lista:
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Esta sucesión es monótona creciente y decreciente al mismo tiempo, y también está acotada.
Sucesiones Periódicas
Una sucesión se denomina periódica si existe un número natural \( T > 0 \) tal que:
\[ a_{n+T} = a_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
El mínimo valor de \( T \) para el cual esta propiedad se verifica se denomina período de la sucesión.
Un ejemplo de sucesión periódica es \( a_n = \sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) \), que tiene período 3.
