En esta página veremos cómo calcular la derivada de la función exponencial utilizando dos formas equivalentes para expresar el cociente incremental: para \( h \to 0 \) y para \( x \to x_0 \). Formalmente, como:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{a^{x + h} - a^x}{h} \quad , \quad \lim_{x \to x_0}\frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Índice
- Límite del cociente incremental para \( h \to 0 \)
- Límite del cociente incremental para \( x \to x_0 \)
Límite del cociente incremental para \( h \to 0 \)
Calculemos la derivada de la función exponencial \(f(x) = a^x\) como límite del cociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0 + h} - a^{x_0}}{h} \]
Reescribimos el término \( a^{x_0 + h} = a^{x_0} \cdot a^h \), por tanto:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0} \cdot a^h - a^{x_0}}{h} \]
Ahora podemos extraer \( a^{x_0} \) del numerador:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \]
El límite que queda es el siguiente:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln(a) \]
Por tanto, la derivada de la función exponencial es:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \ln(a) \]
Límite del cociente incremental para \( x \to x_0 \)
Aplicamos la definición de derivada a la función \(f(x) = a^x\), obteniendo:
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Reescribimos \( a^x = a^{x_0} \cdot a^{x - x_0} \), por tanto:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} \]
Introducimos una variable auxiliar \( u = x - x_0 \) (aunque no sea necesario), ya que cuando \( x \to x_0 \), \( x - x_0 \to 0 \). De esta manera, el límite se convierte en:
\[ L = \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} = \lim_{u \to 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln(a) \]
El valor de \( L \) es el logaritmo natural de la base \( a \), es decir \( \ln(a) \). Por tanto, la derivada de la función exponencial es:
\[ f'(x) = a^x \cdot \ln(a) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]