Calculemos la derivada de la función \( f(x) = x^n \) usando la definición de derivada como límite:
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{x^n - x_0^n}{x - x_0}\end{align}
El numerador del cociente de diferencias es la diferencia de potencias \( x^n - x_0^n \):
\[ x^n - x_0^n = (x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}) \]
Sustituyendo esto en la expresión para la derivada y luego simplificando:
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1})}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \left(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}\right) \end{align}
Cuando \( x \to x_0 \), todos los términos se evalúan en \( x_0 \):
\[ f'(x_0) = n x_0^{n-1} \]
Por lo tanto, la derivada de la función \( f(x) = x^n \) es:
\[ f'(x) = n x^{n-1} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]
