En esta página veremos cómo calcular la derivada de la función potencia utilizando dos formas equivalentes para expresar el cociente incremental: para \( h \to 0 \) y para \( x \to x_0 \). Formalmente, como:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^n - x^n}{h} \quad , \quad \lim_{x \to x_0}\frac{x^n - x_0^n}{x - x_0} \]
Índice
- Límite del cociente incremental para \( h \to 0 \)
- Límite del cociente incremental para \( x \to x_0 \)
Límite del cociente incremental para \( h \to 0 \)
Queremos calcular la derivada de la función \( f(x) = x^n \) usando la definición del cociente incremental:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
Sustituyendo \( f(x) = x^n \):
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \]
Utilizamos el desarrollo binomial:
\[ (x+h)^n = x^n + n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n \]
Sustituyendo:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^n + n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n - x^n}{h} \]
Simplificando:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n}{h} \]
Dividiendo todo por \( h \):
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{n-3} h^2 + \dots + h^{n-1} \right) \]
Cuando \( h \) tiende a \( 0 \), todos los términos con \( h \) se anulan:
\[ f'(x) = n x^{n-1} \]
Concluimos por tanto que:
\[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}, \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Límite del cociente incremental para \( x \to x_0 \)
Calculemos la derivada de la función potencia ( \( f(x) = x^n \) ) como límite del cociente incremental:
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{x^n - x_0^n}{x - x_0}\end{align}
El numerador del cociente incremental es la diferencia de potencias \( x^n - x_0^n \):
\[ x^n - x_0^n = (x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}) \]
Sustituyendo en la expresión de la derivada y simplificando:
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1})}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \left(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}\right) \end{align}
Cuando \( x \to x_0 \), todos los términos se evalúan en \( x_0 \):
\[ f'(x_0) = n x_0^{n-1} \]
Por tanto, la derivada de la función \( f(x) = x^n \) es:
\[ f'(x) = n x^{n-1} \qquad \forall x \in \mathbb{ R } \]