Comenzamos con la derivada de la tangente \( f(x) = \tan(x) \). El límite del cociente incremental es
\begin{align} f'(x) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &=\lim_{x \to x_0} \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} \end{align}
Usando la identidad para la diferencia de tangentes:
\[ \tan(x) - \tan(x_0) = \frac{\sin(x - x_0)}{\cos(x) \cos(x_0)} \]
Sustituyendo esta identidad en el cociente incremental, obtenemos:
\[ \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} = \frac{\frac{\sin(x - x_0)}{\cos(x) \cos(x_0)}}{x - x_0} \]
Simplificando:
\[ \frac{1}{\cos(x) \cos(x_0)} \cdot \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} \]
Ahora, cuando \( x \to x_0 \), utilizamos el límite notable:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} = 1 \]
Por tanto, la expresión se convierte en:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\cos(x) \cos(x_0)} \cdot 1 = \frac{1}{\cos^2(x_0)} \]
Puesto que \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), podemos reescribir el resultado final como:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\tan(x) - \tan(x_0)}{x - x_0} = \sec^2(x_0) \]
Por tanto
\[ f'(x)=\sec^2(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]
Ahora, calculemos la derivada de la cotangente \( g(x) = \cot(x) \). El límite del cociente incremental es
\begin{align} g'(x) &= \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &=\lim_{x \to x_0} \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} \end{align}
Usando la identidad para la diferencia de cotangentes:
\[ \cot(x) - \cot(x_0) = -\frac{\sin(x - x_0)}{\sin(x) \sin(x_0)} \]
Sustituyendo esta identidad en el cociente incremental, obtenemos:
\[ \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} = \frac{-\frac{\sin(x - x_0)}{\sin(x) \sin(x_0)}}{x - x_0} \]
Simplificando:
\[ -\frac{1}{\sin(x) \sin(x_0)} \cdot \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} \]
Ahora, cuando \( x \to x_0 \), utilizamos el límite notable:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(x - x_0)}{x - x_0} = 1 \]
Por tanto, la expresión se convierte en:
\[ \lim_{x \to x_0} -\frac{1}{\sin(x) \sin(x_0)} \cdot 1 = -\frac{1}{\sin^2(x_0)} \]
Puesto que \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\), podemos reescribir el resultado final como:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\cot(x) - \cot(x_0)}{x - x_0} = -\csc^2(x_0) \]
Por tanto
\[ g'(x)=-\csc^2(x)\quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]