En esta página veremos cómo calcular la derivada del logaritmo natural utilizando dos formas equivalentes para expresar el cociente de diferencias: para \( h \to 0 \) y para \( x \to x_0 \). Formalmente, como:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
- Límite del cociente de diferencias para \( h \to 0 \)
- Límite del cociente de diferencias para \( x \to x_0 \)
Límite del cociente de diferencias para \( h \to 0 \)
Aplicando esta definición a la función \( \ln(x) \), obtenemos:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \quad ( * ) \]
Utilizando la propiedad de los logaritmos, podemos reescribir el numerador en \( ( * ) \) como:
\[ \ln(x + h) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x + h}{x}\right) \]
Por tanto,
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} \]
Para simplificar aún más, observamos que esta última expresión oculta un límite notable. Si hacemos \( t = \frac{h}{x} \), entonces \( h = x t \). Por consiguiente, cuando \( h \to 0 \), también \( t \to 0 \). Por tanto
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} \stackrel{\text{Límite Notable}}{=} \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]
Encontramos entonces que la derivada de \( \ln(x) \) es
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]
Límite del cociente de diferencias para \( x \to x_0 \)
De la misma manera, calculamos el límite cuando \( x \to x_0 \). Utilizando esta definición, el límite del cociente de diferencias es
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Aprovechamos la propiedad de los logaritmos \( \ln( x ) - \ln(x_0) = \ln \left (\frac{x}{x_0} \right ) \). El numerador se convierte en:
\[ \ln(x) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x}{x_0}\right) \]
Por tanto,
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln\left(\frac{x}{x_0}\right)}{x - x_0} \qquad (*) \]
Para simplificar, hacemos \( u = x - x_0 \), lo que implica que \( x = x_0 + u \). Cuando \( x \to x_0 \), también \( u \to 0 \).
Sustituyendo \( x = x_0 + u \) en el límite \( (*) \), tenemos
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x_0 + u}{x_0}\right)}{u} \]
El argumento del logaritmo puede reescribirse de modo que se identifique más fácilmente el límite notable que nos permitirá calcular la derivada que estamos buscando.
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{u}{x_0}\right)}{u} \]
Si hacemos \( t = \frac{u}{x_0}\), entonces \( u = x_0 t \). Además \( u \to 0 \) implica \( t \to 0 \):
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} \stackrel{\text{Límite Notable}}{=} \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0} \]
Concluimos que, como en el caso anterior, la derivada de \( \ln(x) \) es:
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]