Veamos cómo calcular la derivada de las funciones seno y coseno, utilizando el límite del cociente incremental y las identidades trigonométricas fundamentales. Demostramos paso a paso que la derivada de \( \sin(x) \) es \( \cos(x) \) y que la de \( \cos(x) \) es \( -\sin(x) \), justificando cada paso de manera clara y formal.
Índice
Derivada de la Función Seno
Calculamos la derivada de la función \( f(x) = \sin(x) \) como el límite del cociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x_0 + h) - \sin(x_0)}{h} \]
Usamos la identidad trigonométrica para la diferencia de senos:
\[ \sin(x_0 + h) - \sin(x_0) = 2 \sin\left(\frac{h}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \]
Sustituyendo esta identidad en el cociente incremental, obtenemos:
\begin{align} \frac{\sin(x_0 + h) - \sin(x_0)}{h} &= \frac{2 \sin\left(\frac{h}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \end{align}
Sabemos que:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{h \to 0} \cos\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) = \cos(x_0). \]
Por tanto:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x_0 + h) - \sin(x_0)}{h} = \cos(x_0) \]
La derivada de la función \( \sin(x) \) es por tanto:
\[ f'(x) = \cos(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Derivada de la Función Coseno
Ahora calculamos la derivada de la función \( g(x) = \cos(x) \) como el límite del cociente incremental:
\[ g'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos(x_0)}{h} \]
Usamos la identidad trigonométrica para la diferencia de cosenos:
\[ \cos(x_0 + h) - \cos(x_0) = -2 \sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]
Sustituyendo esta identidad en el cociente incremental, obtenemos:
\begin{align} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos(x_0)}{h} &= \frac{-2 \sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \frac{-\sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\end{align}
Sabemos que:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{h \to 0} \sin\left(x_0 + \frac{h}{2}\right) = \sin(x_0). \]
Por tanto:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x_0 + h) - \cos(x_0)}{h} = -\sin(x_0) \]
La derivada de la función \( g(x) = \cos(x) \) es por tanto:
\[ g'(x) = -\sin(x) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]