Desigualdades de Primer Grado

Una desigualdad de primer grado es una expresión algebraica que establece una relación de orden entre dos términos que contienen una variable lineal. Puede escribirse en la forma:

\[ a x + b \leq 0 \quad \text{o} \quad a x + b \geq 0 \]

donde \( a \) y \( b \) son coeficientes reales con \( a \neq 0 \) y \( x \) es la variable desconocida. Se habla de desigualdad en sentido estricto si

\[ a x + b < 0 \quad \text{o} \quad a x + b > 0  \]

Índice

• Diferencia entre Ecuaciones y Desigualdades de Primer Grado
• Principios de Equivalencia para las Desigualdades
• Cómo Resolver las Desigualdades de Primer Grado
• Representación Gráfica de las Soluciones de las Desigualdades de Primer Grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones que contienen una variable lineal. Su solución está constituida por un único valor que satisface la igualdad. Una desigualdad de primer grado, en cambio, define un conjunto de valores para los cuales se verifica la relación de orden. El conjunto de soluciones de una desigualdad generalmente está constituido por un intervalo de números reales.

La resolución de una desigualdad de primer grado se basa en tres principios fundamentales:

Primer Principio de Equivalencia

El principio de equivalencia para las desigualdades, o principio de adición, afirma que, si se suma o resta el mismo número a ambos miembros de una desigualdad, la relación de orden no cambia. Por ejemplo:

Si \( a x + b \leq 0 \), entonces podemos sumar \( c \) a ambos miembros y obtener:

\[ a x + b + c \leq c \]

Segundo Principio de Equivalencia

El segundo principio de equivalencia, afirma que, si se multiplica o divide ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, la relación de orden no cambia. Sin embargo, si se multiplica o divide por un número negativo, la desigualdad debe invertirse. Aquí algunos ejemplos:

Si \( a x + b \leq 0 \) y multiplicamos ambos miembros por un número positivo \( k \), obtenemos:

\[ k(a x + b) \leq k \cdot 0 \]

Si, en cambio, multiplicamos por un número negativo \( k \), la desigualdad se convierte en:

\[ k(a x + b) \geq k \cdot 0 \]

Atención al Cambio de Signo de la Desigualdad

Cuando se multiplica o se divide ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, es fundamental invertir el signo de la desigualdad. Por ejemplo:

Si \( -3 x \leq 6 \), al dividir ambos miembros por \( -3 \), debemos invertir el signo de la desigualdad:

\[ x \geq -2 \]

La resolución de una desigualdad de primer grado puede dividirse en pasos claros y sistemáticos. Los pasos generales para resolver una desigualdad de primer grado son:

Pasos Generales para Resolver una Desigualdad

• Aislar el término con la variable: Movemos todos los términos que no contienen la variable a un lado (generalmente el miembro derecho) de la desigualdad y los términos que contienen la variable al otro lado.
• Aplicar el principio de adición o sustracción: Si es necesario, sumamos o restamos el mismo número a ambos miembros de la desigualdad para aislar el término con la variable.
• Multiplicar o dividir por un coeficiente: Si la variable tiene un coeficiente numérico, dividimos ambos miembros por el coeficiente de la variable. Si multiplicamos o dividimos por un número negativo, recordemos invertir el signo de la desigualdad.
• Verificación de la solución: Una vez aislada la variable, verificamos que la solución satisfaga la desigualdad inicial.

Ejemplos Prácticos con Explicaciones Paso a Paso

Ahora veamos un ejemplo práctico de resolución de una desigualdad de primer grado:

Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad \( 3x - 5 \leq 7 \).

Empezamos aplicando los pasos descritos anteriormente:

1. Aislar el término con la variable: Sumamos \( 5 \) a ambos miembros para obtener: \[ 3x \leq 7 + 5 \quad \Rightarrow \quad 3x \leq 12 \]
2. Dividir ambos miembros por \( 3 \): Dividimos ambos miembros por \( 3 \) para aislar \( x \): \[ x \leq \frac{12}{3} \quad \Rightarrow \quad x \leq 4 \]
3. Verificación de la solución: La solución \( x \leq 4 \) es la respuesta final. Si sustituimos \( x = 4 \) en la desigualdad original, tendríamos: \[ 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7 \quad \Rightarrow \quad 7 \leq 7 \] Lo cual es cierto. Por lo tanto, la solución es correcta y la representación gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2: Resuelve la desigualdad \( -2x + 3 > 7 \)

Ahora veamos otro ejemplo con un coeficiente negativo frente a la variable:

1. Aislar el término con la variable: Primero restamos \( 3 \) de ambos miembros: \[ -2x > 7 - 3 \quad \Rightarrow \quad -2x > 4 \]
2. Dividir ambos miembros por \( -2 \): Cuando dividimos por un número negativo, invertimos el signo de la desigualdad: \[ x < \frac{4}{-2} \quad \Rightarrow \quad x < -2 \]
3. Verificación de la solución: La solución \( x < -2 \) es correcta. Si sustituimos \( x = -3 \) (que es menor que -2), tendríamos: \[ -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad 9 > 7 \] Lo cual es cierto. Por lo tanto, la solución es correcta y la representación gráfica es la siguiente.

Como ya hemos visto, la representación gráfica de las soluciones de una desigualdad de primer grado sobre una recta numérica es una forma muy útil de visualizar el intervalo de soluciones. En general, la solución de una desigualdad de primer grado puede representarse como un segmento o una parte de la recta numérica, dependiendo de si la desigualdad es estricta o no.

Cómo Representar las Soluciones en una Recta Numérica

Para representar las soluciones de una desigualdad de primer grado en una recta numérica, sigue estos pasos:

1. Identifica la solución: Una vez resuelta la desigualdad, determina el intervalo de soluciones. Por ejemplo, si la solución es \( x \leq 4 \), el intervalo de soluciones es \( (-\infty, 4] \).
2. Traza la recta numérica: Dibuja una recta horizontal y marca los números significativos, como los límites del intervalo de soluciones.
3. Indica la solución:
   • Si la desigualdad es del tipo \( \leq \) o \( \geq \), indica el límite del intervalo con un círculo cerrado en la recta numérica.
   • Si la desigualdad es del tipo \( < \) o \( > \), indica el límite con un círculo abierto, que señala que ese punto no está incluido en la solución.
4. Indica el intervalo: Traza una línea continua o discontinua para representar el intervalo de soluciones.

Interpretación Gráfica de la Solución

La interpretación gráfica de las soluciones de una desigualdad en una recta numérica permite visualizar rápidamente cuáles son los valores que satisfacen la relación. A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se representan las soluciones:

Ejemplo 1. Solución \( x \leq 4 \)

La solución \( x \leq 4 \) implica que todos los números menores o iguales a \( 4 \) son soluciones. La representación gráfica es la siguiente:

Solución. \( x \leq 4 \).

En la recta numérica, vemos un círculo cerrado en \( 4 \) (porque \( 4 \) está incluido) y una semirrecta que va desde \( -\infty \) hasta \( 4 \).

Ejemplo 2. Solución \( x > -2 \).

La solución \( x > -2 \) implica que todos los números mayores que \( -2 \) son soluciones. La representación gráfica es la siguiente:

En la recta numérica, vemos un círculo abierto en \( -2 \) (porque \( -2 \) no está incluido) y una línea continua que parte de \( -2 \) y va hacia \( +\infty \).

Ejemplo 3. Solución \( -2 \leq x < 5 \)

La solución \( -2 \leq x < 5 \) es un intervalo que incluye \( -2 \) pero excluye \( 5 \). La representación gráfica es la siguiente:

En la recta numérica, vemos un círculo cerrado en \( -2 \) y un círculo abierto en \( 5 \), con una línea continua entre ellos.

La interpretación gráfica de estas soluciones muestra visualmente cuáles valores satisfacen la desigualdad, facilitando a quien estudia ver el conjunto de soluciones.