La proyección de un punto sobre una recta representa uno de los conceptos fundamentales de la geometría analítica. Dado un punto \(P(x_0, y_0)\) y una recta \(r: ax + by + c = 0\), la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\) es aquel punto \(H\) de la recta que realiza la mínima distancia euclidiana desde \(P\). Geométricamente, \(H\) es el pie de la perpendicular trazada desde \(P\) hacia la recta \(r\).
Índice
- Definición
- Demostración de la distancia punto–recta en el plano
- Vector normal y recta perpendicular
- Coordenadas del pie de la perpendicular
- Método Alternativo: Proyección Vectorial
- Ejercicios sobre la Distancia Punto-Recta
Definición
Definición. La proyección ortogonal del punto \(P(x_0, y_0)\) sobre la recta \(r: ax + by + c = 0\) es el único punto \(H \in r\) tal que el vector \(\overrightarrow{PH}\) es paralelo al vector normal \(\vec{n} = (a, b)\).
Esta caracterización es equivalente a exigir que \(H\) minimice la distancia euclidiana \(|PQ|\) para todos los puntos \(Q \in r\).
Demostración de la distancia punto–recta en el plano
Sea un punto \( P(x_0, y_0) \) y una recta \( r: ax + by + c = 0 \). Queremos calcular la distancia entre el punto y la recta, esto es:
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Vector normal y recta perpendicular
La recta \( r \) tiene como vector normal \( \vec{n} = (a, b) \). Consideremos la recta perpendicular a \( r \) que pasa por el punto \( P(x_0, y_0) \). Sus ecuaciones paramétricas son:
\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \]
Ahora, imponemos que el punto de la recta perpendicular pertenezca a \( r \). Sustituyendo en su ecuación:
\[ a(x_0 + at) + b(y_0 + bt) + c = 0 \]
\[ ax_0 + a^2t + by_0 + b^2t + c = 0 \Rightarrow (a^2 + b^2)t + (ax_0 + by_0 + c) = 0 \]
\[ t = -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
Coordenadas del pie de la perpendicular
Sustituyendo \( t \) en las ecuaciones paramétricas, obtenemos las coordenadas del punto \( H \):
\[ x_H = x_0 - a \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \quad y_H = y_0 - b \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
La distancia entre \( P \) y \( H \) está dada por:
\[ d = \sqrt{(x_0 - x_H)^2 + (y_0 - y_H)^2} \]
Observamos que:
\[ x_0 - x_H = \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2}, \quad y_0 - y_H = \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \]
Por tanto:
\[ d = \sqrt{ \left( \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 + \left( \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 } \]
\[ = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Hemos demostrado la fórmula de la distancia entre un punto y una recta:
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Método Alternativo: Proyección Vectorial
Consideremos un punto \( P(x_0, y_0) \) y una recta \( r: ax + by + c = 0 \). Sea \( Q(x_1, y_1) \) un punto cualquiera de la recta (por ejemplo, obtenido resolviendo \( r \) respecto a \( y \)). El vector que une \( P \) y \( Q \) es:
\[ \vec{PQ} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \]
Sea \( \vec{n} = (a, b) \) el vector normal a la recta. La distancia entre el punto \( P \) y la recta \( r \) está dada por el módulo de la proyección del vector \( \vec{PQ} \) sobre el vector normal unitario:
\[ d = \left| \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|} \right| \]
Desarrollamos el producto escalar:
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) = ax_1 + by_1 - ax_0 - by_0 \]
Puesto que \( Q \in r \), entonces \( ax_1 + by_1 + c = 0 \), es decir \( ax_1 + by_1 = -c \). Obtenemos:
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = -c - ax_0 - by_0 = -(ax_0 + by_0 + c) \]
Finalmente:
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
que coincide con la fórmula obtenida por vía geométrica.
Ejercicios sobre la Distancia Punto-Recta
Fórmula de la distancia
Para una recta en forma general \(ax + by + c = 0\) y un punto \(P(x_0, y_0)\), la distancia es:
\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
Ejercicio 1. Calcula la distancia del punto \(P(3, -2)\) a la recta \(r: 4x - 3y + 1 = 0\).
Solución. Datos:
- Punto: \(P(3, -2)\), por tanto \(x_0 = 3\) e \(y_0 = -2\)
- Recta: \(4x - 3y + 1 = 0\), por tanto \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 1\)
Aplicando la fórmula:
\[d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}\]
\[d = \frac{|12 + 6 + 1|}{\sqrt{16 + 9}}\]
\[d = \frac{|19|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{19}{5}\]
Ejercicio 2. Determina la distancia del punto \(A(-1, 5)\) a la recta \(s: 2x + y - 7 = 0\).
Solución: Datos:
- Punto: \(A(-1, 5)\), por tanto \(x_0 = -1\) e \(y_0 = 5\)
- Recta: \(2x + y - 7 = 0\), por tanto \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -7\)
Aplicando la fórmula:
\[d = \frac{|2 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 + (-7)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\]
\[d = \frac{|-2 + 5 - 7|}{\sqrt{4 + 1}}\]
\[d = \frac{|-4|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\]
Ejercicio 3. Halla la distancia del punto \(B(0, 4)\) a la recta \(t: x - 2y + 3 = 0\).
Solución: Datos:
- Punto: \(B(0, 4)\), por tanto \(x_0 = 0\) e \(y_0 = 4\)
- Recta: \(x - 2y + 3 = 0\), por tanto \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\)
Aplicando la fórmula:
\[d = \frac{|1 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\]
\[d = \frac{|0 - 8 + 3|}{\sqrt{1 + 4}}\]
\[d = \frac{|-5|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\]
Ejercicio 4. Calcula la distancia del punto \(C(2, -3)\) a la recta \(u: 3x + 4y - 12 = 0\).
Solución: Datos:
- Punto: \(C(2, -3)\), por tanto \(x_0 = 2\) e \(y_0 = -3\)
- Recta: \(3x + 4y - 12 = 0\), por tanto \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -12\)
Aplicando la fórmula:
\[d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + (-12)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\]
\[d = \frac{|6 - 12 - 12|}{\sqrt{9 + 16}}\]
\[d = \frac{|-18|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{18}{5}\]
Ejercicio 5. Determina la distancia del punto \(D(-4, 1)\) a la recta \(v: 5x - 12y + 8 = 0\).
Solución: Datos:
- Punto: \(D(-4, 1)\), por tanto \(x_0 = -4\) e \(y_0 = 1\)
- Recta: \(5x - 12y + 8 = 0\), por tanto \(a = 5\), \(b = -12\), \(c = 8\)
Aplicando la fórmula:
\[d = \frac{|5 \cdot (-4) + (-12) \cdot 1 + 8|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}\]
\[d = \frac{|-20 - 12 + 8|}{\sqrt{25 + 144}}\]
\[d = \frac{|-24|}{\sqrt{169}}\]
\[d = \frac{24}{13}\]