Las funciones pares y las funciones impares se distinguen por sus simetrías respecto al eje de las ordenadas y al origen, respectivamente.
Definición. La función $ f : X \to Y $ se dice que es par si, para cada $ x \in X $
$$ f ( - x ) = f ( x ) $$
Ejemplo. La función $ f ( x ) = \cos x $ es una función par. De hecho, para cada $ x \in \mathbb{ R } $ se tiene $ \cos ( - x ) = \cos x $.
Ejemplo. La función $ f ( x ) = x ^ 2 $ es una función par. De hecho, para cada $ x \in \mathbb{ R } $ se tiene $ ( - x ) ^ 2 = x ^ 2 $. Su gráfico cartesiano es una parábola, como se muestra en la figura:
Una función es impar si, dado $ x $ un punto del dominio, la imagen de $ - x $ es exactamente la imagen del punto $ x $ cambiada de signo.
Definición. La función $ f : X \to Y $ se dice que es impar si, para cada $ x \in X $
$$ f ( - x ) = - f ( x ) $$
Ejemplo. La función $ f ( x ) = \sin x $ es una función impar. De hecho, para cada $ x \in \mathbb{ R } $ se tiene $ \sin ( - x ) = - \sin x $.
Ejemplo. La función $ f ( x ) = x ^ 3 $ es una función impar. De hecho, para cada $ x \in \mathbb{ R } $ se tiene $ ( - x ) ^ 3 = - x ^ 3 $. El gráfico cartesiano se muestra en la figura:
Como ya se mencionó, una función par es simétrica respecto al eje de las ordenadas; esto significa que, si debemos estudiar el gráfico de una función par, no tenemos que hacer más que estudiarla para valores positivos (o negativos), ya que será simétrica respecto al eje de las ordenadas. Lo mismo ocurre con una función impar, siempre y cuando tracemos el gráfico de manera simétrica respecto al origen de los ejes cartesianos.
Otro caso en el que las funciones pares e impares son de gran ayuda es cuando debemos calcular la integral sobre un intervalo simétrico respecto al origen. Si $ f $ es par, se tiene
$$ \int _ { - a } ^ { a } f ( x ) dx = 2 \int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) dx $$
Si, en cambio, $ f $ es impar, se tiene
$$ \int _ { - a } ^ { a } f ( x ) dx = 0 $$
Si $f : X \to Y $ es tal que $ f( -x ) \neq f( x ) $ y $ f( -x ) \neq -f( x ) $, entonces no es ni par ni impar.
Ejemplo: La función $ f( x ) = e^x $ no es ni par ni impar, al igual que no lo es la función $ f( x ) =x + 1 $.