El siguiente límite es de fundamental importancia en análisis matemático. Proporcionaremos dos demostraciones: una basada en el Teorema de la comparación (Teorema de los Carabineros), que aprovecha una comparación geométrica, y otra mediante la Serie de Taylor, que utiliza el desarrollo en serie de la función seno. El límite que pretendemos demostrar es el siguiente:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]
Demostración mediante el Teorema de los Carabineros
Para demostrar el límite, utilizamos el Teorema de la comparación (Teorema de los Carabineros). Observamos la siguiente figura:
Consideramos el sector circular de radio \(1\) y ángulo \(x\) en radianes. Como se observa en la figura, podemos comparar tres áreas:
- El triángulo \( \triangle OBD \), de base \( \cos x \) y altura \( \sin x \).
- El sector circular \( OBD \), con área proporcional a \( x \).
El sector circular \( OBD \), con área proporcional a \( x \), ya que el área de un sector circular se calcula como \( \displaystyle \frac{1}{2}r^2 x \) y, en el caso de radio unitario, se convierte en \( \displaystyle \frac{x}{2} \).
- El triángulo \( \triangle OBC \), de base \(1\) y altura \( \tan x \).
Estas tres regiones cumplen la relación:
\[ \text{Área}(\triangle OBD) < \text{Área}(OBC) < \text{Área}(\triangle OBC) \]
Expresando las áreas explícitamente, obtenemos:
\[ \frac{1}{2}\cos x \sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x \]
Multiplicando ambos miembros por \( \frac{2}{\sin x} \), se tiene:
\[ \cos x < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \]
Dado que sabemos que:
\[ \lim_{x\to 0} \cos x = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1, \]
por el Teorema de la comparación (Teorema de los Carabineros) podemos concluir que:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
Demostración mediante la Serie de Taylor
Otro método riguroso es utilizar la serie de Taylor de \( \sin(x) \) en \( x = 0 \):
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5). \]
Dividiendo todo por \( x \):
\[ \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \mathcal{O}(x^4). \]
Al hacer \( x \to 0 \), los términos de orden superior tienden a cero, y obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
Hemos demostrado que el límite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
utilizando tanto el Teorema de la comparación como la Serie de Taylor. Este resultado es fundamental en análisis y tiene numerosas aplicaciones.
Ejemplo
Observamos que en el argumento del seno aparece \( ax \) en lugar de \( x \). Para adaptarlo al límite fundamental, multiplicamos y dividimos por \( a \):
\[ \frac{\sin(ax)}{x} = a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}. \]
Ahora el término \( \displaystyle \frac{\sin(ax)}{ax} \) tiene la misma estructura que el límite fundamental.
Aplicamos el Límite Fundamental
Dado que sabemos que:
\[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1, \]
podemos sustituir \( y = ax \), que tiende a \( 0 \) cuando \( x \to 0 \), obteniendo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1. \]
Multiplicando por \( a \), obtenemos el resultado final:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a \]
Ejemplo Numérico
Consideremos un caso específico: si \( a = 3 \), entonces el límite se convierte en:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}. \]
Aplicando la fórmula encontrada, obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \]