Queremos calcular el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
En esta demostración, veremos dos métodos principales para calcular el límite en cuestión. El primer enfoque se basa en utilizar la conocida propiedad del límite que afirma que \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1\), aplicada adecuadamente. El segundo enfoque utiliza las series de Taylor para aproximar \(\sin(x)\) en un entorno de \(x = 0\), lo que nos permite obtener el resultado de forma analítica. Veamos ahora ambas demostraciones en detalle.
Enfoque utilizando la propiedad del límite
Escribimos el límite como:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin(bx)} \cdot \frac{a}{b} \right) \]
Aplicamos la propiedad \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1\), aplicándola a \(\sin(ax)\) y \(\sin(bx)\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0} \frac{bx}{\sin(bx)} = 1 \]
Por lo tanto, el límite se simplifica a:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
Enfoque utilizando las series de Taylor
La serie de Taylor para \(\sin(x)\) alrededor de \(x = 0\) es:
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \]
Utilizando esta expansión, podemos escribir \(\sin(ax)\) y \(\sin(bx)\) como:
\[ \sin(ax) = ax - \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5) \quad \text{y} \quad \sin(bx) = bx - \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5) \]
Ahora, consideremos la razón \(\displaystyle \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}\):
\[ \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{ax - \displaystyle \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5)}{bx - \displaystyle \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5)} \]
Cuando \(x \to 0\), los términos que contienen \(x^2\) y los de orden superior tienden a cero. Por lo tanto, el límite se convierte en:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]