En esta demostración, vamos a calcular el límite notable:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Para demostrar este límite, utilizaremos el desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto \( x = 0 \) y la definición de derivada para calcular el límite como la derivada de la función \( (1+x)^{\alpha} \) en \( x = 0 \).
Desarrollo en Serie de Taylor
Comencemos con el primer enfoque, utilizando la serie de Taylor de la función \( (1+x)^{\alpha} \) alrededor del punto \( x = 0 \).
La serie de Taylor de \( (1+x)^{\alpha} \) está dada por:
\[ (1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots \]
Ahora sustituiremos este desarrollo en la expresión del límite:
\[ \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \frac{1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots - 1}{x} \]
Simplificando:
\[ \frac{\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots}{x} = \alpha + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x + \dots \]
Cuando \( x \to 0 \), todos los términos con \( x \) tienden a cero, dejando solo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Definición de Derivada
Otra forma de demostrar el límite es utilizando la definición de derivada. Consideremos la función \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \). La derivada de \( f(x) \) en \( x = 0 \) está definida como:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}. \]
En nuestro caso, \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \), por lo que:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - (1+0)^{\alpha}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - 1}{h}. \]
¡Esta es exactamente la forma del límite que necesitamos calcular! La derivada de la función \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \) es:
\[ f'(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1}. \]
Entonces, evaluando en \( x = 0 \):
\[ f'(0) = \alpha (1+0)^{\alpha-1} = \alpha. \]
Por lo tanto, tenemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Hemos demostrado el límite notable:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha, \] utilizando tanto el desarrollo en serie de Taylor como la definición de derivada.