En esta página, demostraremos el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \]
Exploraremos tres métodos diferentes para obtener este resultado. En particular, utilizaremos la definición del seno hiperbólico y un límite fundamental de la exponencial, aplicaremos el Teorema de L'Hôpital y, finalmente, usaremos el desarrollo en serie de Taylor.
Demostración mediante la definición y límites fundamentales
El seno hiperbólico se define como:
\[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]
Dividiendo por \( x \):
\[ \frac{\sinh x}{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2x} \]
Podemos reescribir el numerador como:
\[ e^x - e^{-x} = e^x - \frac{1}{e^x} \]
Multiplicando numerador y denominador por \( e^x \):
\[ \frac{e^{2x} - 1}{2x e^x} \]
Usamos el límite fundamental:
\[ \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1, \quad \text{con } y = 2x \]
Obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x e^x} = \frac{1}{e^0} = 1 \]
Demostración con el teorema de L'Hôpital
Observamos que el límite presenta una forma indeterminada \( \frac{0}{0} \), por lo que podemos aplicar el teorema de L'Hôpital.
Derivamos el numerador y el denominador:
\[ \frac{d}{dx} (e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}, \quad \frac{d}{dx} (2x) = 2 \]
Así:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 \]
Demostración con el desarrollo en serie de Taylor
Expandimos las funciones exponenciales en series de Taylor alrededor de \( x = 0 \):
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
\[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
Calculando la diferencia:
\[ e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + O(x^5) \]
Dividiendo todo por 2:
\[ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + O(x^5) \]
Dividiendo por \( x \):
\[ \frac{\sinh x}{x} = 1 + \frac{x^2}{3!} + O(x^4) \]
Tomando el límite cuando \( x \to 0 \), todos los términos con \( x \) desaparecen, y obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \]