El siguiente límite es de importancia fundamental, ya que aparece frecuentemente en el estudio de las derivadas, los límites y las aproximaciones de las funciones trigonométricas.
Proporcionaremos dos demostraciones: una basada en el Teorema del Encajonamiento (también conocido como Teorema de los Carabineros), que utiliza una comparación geométrica, y otra mediante la Serie de Taylor, que emplea el desarrollo en serie de la función coseno.
El límite que queremos demostrar es el siguiente:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \]
Demostración con el Teorema del Encajonamiento
Consideremos el círculo unitario y un ángulo \( x \) en radianes. Es bien sabido que:
\[ \sin(x) < x < \tan(x), \quad \text{para } x \in (0, \frac{\pi}{2}). \]
Dividiendo por \( \sin(x) \):
\[ 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{\tan(x)}{\sin(x)}. \]
Podemos reescribir la fracción:
\[ \frac{\tan(x)}{x} = \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos(x)}. \]
Dado que se sabe que:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \quad \text{y} \quad \cos(x) \to 1, \]
entonces también el recíproco \( \frac{1}{\cos(x)} \) tiende a \( 1 \), por lo que concluimos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]
Demostración con las Series de Taylor
Utilizamos los desarrollos de Taylor de las funciones seno y coseno:
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \] \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Calculamos el recíproco de \( \cos(x) \) utilizando el desarrollo en serie de \( \frac{1}{1 - u} \):
\[ \frac{1}{\cos(x)} = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Ahora multiplicamos por \( \sin(x) \):
\[ \tan(x) = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) \cdot (1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)). \]
Expandimos los términos principales:
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^5). \]
Dado que
\[ \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{3}, \]
tenemos
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5). \]
Dividiendo por \( x \):
\[ \frac{\tan(x)}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + O(x^4). \]
Dado que el término \( \frac{x^2}{3} + O(x^4) \) tiende a cero cuando \( x \to 0 \), se sigue que:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]