El siguiente límite notable es de importancia fundamental, ya que aparece frecuentemente en el cálculo de límites, el estudio de las derivadas y las aproximaciones de funciones trigonométricas.
Proporcionaremos dos demostraciones: una basada en una identidad trigonométrica, que aprovecha la relación entre el seno y el coseno, y otra utilizando el desarrollo en serie de Taylor de la función coseno.
El límite notable que queremos demostrar es el siguiente:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Identidad trigonométrica
Usamos la identidad:
\[ 1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right). \]
Reescribimos el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}. \]
Manipulamos la expresión:
\[ \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \cdot \frac{(x/2)^2}{x^2}. \]
Utilizando el límite notable:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{(x/2)} = 1, \]
obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \]
Desarrollo de Taylor
El desarrollo en serie de Taylor de \( \cos(x) \) es:
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
De donde se deduce:
\[ 1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Ahora sustituimos en el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2}. \]
Separando los términos:
\[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2}{2x^2} + \frac{O(x^4)}{x^2}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} + O(x^2)\right). \]
Como \( O(x^2) \to 0 \) cuando \( x \to 0 \), el límite es:
\[ \frac{1}{2}. \]