En esta sección demostraremos el siguiente límite notable:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \]
usando dos métodos distintos: el primero se basa en la interpretación del límite como la definición de derivada, mientras que el segundo utiliza el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial.
Interpretación como Derivada
Consideremos la función \( f(x)=e^x \). El cociente incremental
\[ \frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0} \]
representa el cociente incremental que, cuando \( x \) tiende a 0, define la derivada de \( f(x) \) en 0:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=f'(0). \]
Dado que la derivada de la función exponencial es ella misma \( e^x \), tenemos:
\[ f'(0)=e^0=1. \]
Por lo tanto, se obtiene:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Desarrollo en Serie de Taylor
Consideremos el desarrollo en serie de Taylor de la función \( e^x \) en un entorno del punto \( x=0 \):
\[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
Restando \( 1 \) en ambos lados, obtenemos:
\[ e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
Dividiendo por \( x \) (con \( x\neq 0 \)):
\[ \frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots. \]
Calculando el límite cuando \( x \to 0 \), todos los términos que contienen \( x \) tienden a cero, por lo que:
\[ \lim_{x \to 0}\left(1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots\right)=1. \]
Ambos métodos, el basado en la definición de derivada y el basado en el desarrollo en serie de Taylor, conducen al mismo resultado:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Ejercicios
Ejercicio 1. Calcular el límite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)}. \]
Solución. Podemos reescribir la expresión como:
\[ \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = \frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin(2x)} \]
Usando el límite notable para la exponencial:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x}-1}{3x} = 1 \]
y sabiendo que:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(2x)}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{\sin(2x)} = 1 \]
obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0}\frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin(2x)} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2} \]
Por lo tanto,
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \]
Ejercicio 2. Calcular el límite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} \]
Solución. Podemos reescribir la expresión como:
\[ \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{e^{2x}-1} \]
Utilizamos los siguientes límites notables:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\tan(3x)}{3x} = 1 \]
y
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{e^{2x}-1} = 1 \]
Además, el término \(\frac{3x}{2x}\) se simplifica a \(\frac{3}{2}\). Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \]