Uno de los límites más frecuentemente encontrados se refiere a la función raíz cuadrada, que puede demostrarse elegantemente mediante la racionalización del denominador, una técnica que elimina eficazmente las formas indeterminadas. Demostraremos rigurosamente que:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{2} \]
Racionalización del Numerador
El numerador \( \sqrt{1 + x} - 1 \) contiene una expresión radical, que eliminaremos multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado \( \sqrt{1 + x} + 1 \):
\[ \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
Desarrollando el numerador mediante la identidad de la diferencia de cuadrados:
\[ (\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1) = (1 + x) - 1 = x. \]
El denominador se convierte en:
\[ x (\sqrt{1 + x} + 1). \]
Simplificando la expresión:
\[ \frac{x}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
Evaluando el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}. \]
Confirmación mediante la Derivada
Un enfoque alternativo aprovecha la definición fundamental de la derivada. Observamos que el límite propuesto presenta la forma del cociente diferencial que define la derivada:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(0+x) - f(0)}{x} \]
Donde \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) y \( f(0) = 1 \).
Recordemos que la definición formal de la derivada de una función \( f(x) \) en el punto \( x_0 \) viene dada por:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]
En nuestro caso específico, el límite original corresponde exactamente a la derivada de \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) evaluada en \( x = 0 \).
Calculando esta derivada:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}}. \]
Evaluando en \( x = 0 \):
\[ f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}. \]
Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = f'(0) = \frac{1}{2}. \]
Hemos establecido formalmente el límite mediante el método de racionalización y hemos verificado posteriormente el resultado reconociendo que el límite representa precisamente la derivada de la función \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) en el punto \( x = 0 \), garantizando así una demostración impecable y rigurosa.