El siguiente límite muestra que el crecimiento de la función exponencial \( e^x \) es mucho más rápido que cualquier polinomio \( x^n \). Este resultado es fundamental en análisis matemático y se utiliza en la teoría de órdenes de magnitud y en la complejidad computacional.
Demostremos que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \]
Criterio de L'Hôpital
Consideremos la función:
\[ f(x) = \frac{x^n}{e^x} \]
Aplicamos el criterio de L'Hôpital, derivando numerador y denominador \( n \) veces:
- El numerador, después de \( n \) derivaciones, se convierte en \( n! \);
- El denominador \( e^x \) permanece invariable.
Por lo tanto, tenemos:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \]
Comparación de órdenes de magnitud
Otra forma de demostrar el límite es observar que la función \( e^x \) puede escribirse como su serie de Taylor:
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \]
Consideremos los términos hasta \( k = 2n \):
\[ e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{2n}}{(2n)!} > \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
Por lo tanto:
\[ \frac{x^n}{e^x} < \displaystyle \frac{x^n}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!}} = \frac{(2n)!}{x^n} \]
Como \( \displaystyle \frac{(2n)!}{x^n} \to 0 \) cuando \( x \to \infty \), se deduce que \( \displaystyle \frac{x^n}{e^x} \to 0 \).
Método asintótico
También podemos utilizar un enfoque asintótico. Observamos que la razón entre las dos funciones es:
\[ \frac{x^n}{e^x} = e^{n \ln x - x} \]
Para \( x \) suficientemente grande, el término \( n \ln x - x \) se vuelve negativo y decrece indefinidamente, por lo tanto \( e^{n \ln x - x} \to 0 \), y el límite queda demostrado.