Queremos demostrar que:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \]
Demostración usando logaritmos y la regla de L'Hôpital
Definamos la función:
\[ y = \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \]
Tomamos el logaritmo natural:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Ahora estudiamos el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Aplicamos la regla de L'Hôpital a la forma indeterminada \( \frac{0}{0} \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = a \]
Por lo tanto, \( \ln y \to a \), y por consiguiente \( y \to e^a \).
Demostración usando la serie de Taylor
Consideremos la función:
\[ y = \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \]
Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Para calcular el límite, utilizamos la expansión en serie de Taylor del logaritmo natural alrededor de \( u = 0 \):
\[ \ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots, \quad \text{cuando } u \to 0 \]
Sea \( u = \frac{a}{x} \). Sustituyendo en la expansión, obtenemos:
\[ \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx \frac{a}{x} - \frac{a^2}{2x^2} + \frac{a^3}{3x^3} - \dots \]
Multiplicamos ambos lados por \( x \):
\[ x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx x \left( \frac{a}{x} - \frac{a^2}{2x^2} + \frac{a^3}{3x^3} - \dots \right) \]
Simplificando los términos:
\[ x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx a - \frac{a^2}{2x} + \frac{a^3}{3x^2} - \dots \]
Como \( x \to \infty \), todos los términos de la forma \( \frac{a^n}{x^n} \) con \( n \geq 1 \) tienden a 0. Por lo tanto, nos queda:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) = a \]
Elevando ambos lados como exponente de \( e \), obtenemos:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \]