En esta sección, demostraremos el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Utilizaremos dos métodos distintos para la demostración: el Teorema de Comparación, aprovechando desigualdades fundamentales del seno, y el desarrollo en serie de Taylor de la función alrededor de \( x = 0 \).
Demostración usando el Teorema de Comparación
Usamos las desigualdades fundamentales del seno:
\[ \sin x \leq x \]
De lo que se sigue que:
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x} \]
Multiplicando por \( x \):
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \]
De manera similar, podemos usar la desigualdad:
\[ \sin x \geq x - \frac{x^3}{6} \]
Lo que lleva a:
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \geq 1 - \frac{1}{6x^2} \]
Aplicando el Teorema de Comparación y haciendo tender \( x \) a infinito, obtenemos:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Demostración usando el Desarrollo en Serie de Taylor
Usamos el desarrollo de Taylor de la función seno alrededor de cero:
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5) \]
Sea \( x = \frac{1}{t} \), entonces, cuando \( x \to \infty \), tenemos \( t \to 0 \), y sustituimos:
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right) \]
Multiplicando por \( x \):
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = x \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right)\right) \]
\[ = 1 - \frac{1}{6x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^4}\right) \]
Haciendo tender \( x \to \infty \), el término \( \frac{1}{6x^2} \) tiende a cero, por lo que:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]