Para demostrar el límite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 \]
utilizaremos dos métodos: la expansión en serie de Taylor y la definición de la derivada. La serie de Taylor nos permitirá analizar el comportamiento de la función para valores pequeños de \( x \), mientras que la definición de la derivada nos ofrecerá una confirmación alternativa.
Expansión en Serie de Taylor
Utilizamos la expansión en serie de Taylor de las funciones exponenciales:
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
\[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
Restando ambas expresiones:
\[ e^x - e^{-x} = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^4) \]
Dividiendo por \(2x\):
\[ \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^3) \]
Cálculo del Límite
Tomando el límite cuando \(x\) tiende a cero:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + 0 = 1 \]
Verificación con la Definición de la Derivada
Observamos que la función en el numerador es precisamente la definición de la derivada de la función \( f(x) = e^x \) evaluada en \( x = 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \]
Dado que se sabe que \( \lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sinh x}{x} = 1 \), obtenemos nuevamente el resultado.