El teorema de conservación del signo para sucesiones establece que si una sucesión real \( a_n \) converge a un límite \( L \neq 0 \), existe un índice \( N \) a partir del cual todos los términos de la sucesión tienen el mismo signo que \( L \). En otras palabras:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L > 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n > 0 \]
Si por el contrario \( L < 0 \), entonces:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L < 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n < 0 \]
Por definición, el límite de \( a_n \) es \( L \) si y solo si:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, |a_n - L| < \epsilon \]
En particular, eligiendo \( \epsilon = \displaystyle \frac{|L|}{2} \), obtenemos la desigualdad:
\[ L - \frac{|L|}{2} < a_n < L + \frac{|L|}{2} \]
Ahora, observemos los siguientes casos:
- Si \( L > 0 \), entonces:
\[ \frac{|L|}{2} < a_n < \frac{3|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
- Si \( L < 0 \), es decir \( L = -|L| \), entonces:
\[ -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
En ambos casos, para \( n \geq N \), los términos de la sucesión \( a_n \) tendrán el mismo signo que \( L \).
Ejercicio 1: Consideremos la sucesión \( \displaystyle a_n = \frac{1}{n} \). Calculemos el límite de \( a_n \) cuando \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Aunque la sucesión tiende a 0, no podemos aplicar el teorema de conservación del signo ya que el límite es cero.
Ejercicio 2: Consideremos la sucesión \( \displaystyle a_n = \frac{3}{n} - 2 \). Calculemos el límite de \( a_n \) cuando \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} - 2 \right) = -2 \]
Elegimos \( \epsilon = 1 \). Debemos encontrar un índice \( N \) tal que para todo \( n \geq N \), se cumpla \( |a_n + 2| < 1 \). En este caso, \( \displaystyle |a_n + 2| = \left| \frac{3}{n} \right| \).
Queremos que \( \displaystyle \frac{3}{n} < 1 \), lo cual se satisface para \( n > 3 \). Por tanto, para todo \( n \geq 4 \), \( a_n \) es negativo y tiende a \( -2 \), conservando el signo negativo para todos los \( n \geq 4 \).
Ejercicio 3: Consideremos la sucesión \( \displaystyle a_n = \frac{5}{n} + 1 \). Calculemos el límite de \( a_n \) cuando \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} + 1 \right) = 1 \]
Elegimos \( \displaystyle \epsilon = \frac{1}{2} \). Debemos encontrar un índice \( N \) tal que para todo \( n \geq N \) se tenga
\[ |a_n - 1| < \frac{1}{2} \]
En este caso, \( |a_n - 1| = \displaystyle \left| \frac{5}{n} \right| \).
Queremos que \( \displaystyle \frac{5}{n} < \frac{1}{2} \), lo cual se satisface para \( n > 10 \). Por tanto, para todo \( n \geq 11 \), \( a_n \) es positivo y tiende a \( 1 \), conservando el signo positivo para todos los \( n \geq 11 \).