Ya hemos calculado algunas derivadas de funciones elementales mediante el límite del cociente incremental de la función \(f(x)\). Ahora veremos cómo calcular - de manera más genérica - la derivada de la suma \((f + g )(x_0)\), la derivada del producto \((f \cdot g )(x_0)\), de la función inversa \(f ^{ - 1 }(x_0)\) y de la función compuesta \((f \circ g)(x_0)\).
Índice
- Derivada de la Suma
- Derivada del Producto
- Derivada de la Función Compuesta
- Derivada de la Función Inversa
Derivada de la Suma
Sean \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dos funciones y sea \(x_0 \in X\cap Y\). Si \( f \) y \( g \) son derivables en el punto \(x_0\), entonces \( (f + g )(x) \) es derivable en \(x_0\) y su derivada viene dada por\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Demostración. Aplicamos la definición de derivada a la función suma:
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + g(x) - (f(x_0) + g(x_0))}{x - x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x) -g(x_0)}{x - x_0} \end{align} El último paso está justificado por el hecho de que el límite de la suma es igual a la suma de los límites. Deducimos por tanto que, puesto que las funciones \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\), la suma es derivable en \(x_0\):
\[ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \]
Derivada del Producto
Sean \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) y \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dos funciones y sea \(x_0 \in X \cap Y\). Si \( f \) y \( g \) son derivables en el punto \( x_0 \), entonces el producto \( (f \cdot g)(x) \) es derivable en \(x_0\) y su derivada viene dada por: \[ (f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \]
Demostración. Aplicamos la definición de derivada a la función producto:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) g(x) - f(x_0) g(x_0)}{x - x_0} \]
Podemos manipular algebraicamente la expresión - sumando y restando \( f(x_0)g(x) \) - al numerador para evidenciar la diferencia de dos términos:
\[ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) \]
Agrupamos los términos de modo que podamos sacar factores comunes:
\[ (f(x) - f(x_0))g(x) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) \]
Ahora podemos sustituir esta expresión en el límite:
\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \right) \]
Dividimos este límite en dos partes:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} \]
Consideremos el primer límite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x) - f(x_0))g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) g(x_0) = f'(x_0)g(x_0) \]
Dado que \( \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \), podemos sacar \( g(x_0) \) fuera del límite.
Ahora consideremos el segundo límite:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \left( \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinando ambos resultados, obtenemos:
\[ ( f \cdot g )'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \]
Esta es la regla del producto para las derivadas, que afirma que la derivada del producto de dos funciones viene dada por la suma del producto de la derivada de la primera función por la segunda función, más el producto de la primera función por la derivada de la segunda función.
Derivada de la Función Compuesta
Sean \(f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \(g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dos funciones, donde \(X\) contiene un entorno de \(x_0\) y \(Y\) contiene un entorno de \(g(x_0)\), con \(g(X) \subset Y\). Si \(g\) es derivable en \(x_0\) y \(f\) es derivable en \(g(x_0)\), entonces la función compuesta \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) es derivable en \(x_0\) y su derivada viene dada por:
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Demostración. Partimos de la definición de derivada como límite del cociente incremental
\[ (f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}\]
Multiplicamos y dividimos por \((g(x) - g(x_0))\):
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
El límite del producto es igual al producto de los límites, por tanto podemos separar el límite en dos partes:
\[(f \circ g)'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\]
Ahora, reconocemos que el primer límite es la definición de \(f'(g(x_0))\) y el segundo límite es la definición de \(g'(x_0)\). Por tanto obtenemos:
\[(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)\]
Derivada de la Función Inversa
Sea \( f : X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} \) una función biyectiva y continua en un intervalo abierto \(X\), con inversa \( f^{-1} : Y \to X \). Sea \( x_0 \in X \) y sea \( y_0 = f(x_0) \). Si \(f\) es derivable en \(x_0\) y \(f'(x_0) \neq 0\), entonces \(f^{-1}\) es derivable en \(y_0\) y se cumple: \[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Demostración. Por la regla de derivación para las funciones compuestas: \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = (f^{-1})' (y_0)\cdot f'(x_0) \). Pero \( ( f ^ { - 1 } \circ f )'( x_0 ) = 1 \), en cuanto función idéntica en \( X \) y por tanto:
\[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]
Observación. Si \( f \) es derivable en \(x_0\) con \(f'(x_0)=0\), entonces \(f^{-1}\) no puede ser derivable en \( y_0=f(x_0) \) ya que \( 1/ f'(x_0)\) no está definida.
Ejemplo. Sea \( g : [0, +\infty) \longrightarrow [0, +\infty) \) definida por \( g(y)=y^{1/3} \). La función \(f^{-1}\) no puede ser derivable en \(y_0=0\) porque la inversa \(f(x)=x^3\) es derivable en \(x_0\) con \(f'(0) = 0\).