Sea \( a \neq 0 \) y sea \( n \in \mathbb{N} \). La potencia \( n \)-ésima de \( a \), denotada con el símbolo \( a^n \), se define como el producto de \( a \) por sí mismo \( n \) veces. En términos matemáticos, dicho producto se expresa como:
\[ a^n := \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}} \]
El número \( a \) se denomina base de la potencia, mientras que \( n \) es el exponente de la potencia.
Índice
- Propiedades de las Potencias
- Potencia con Exponente Cero
- Potencias con Exponente Negativo
- Potencias con Exponente Fraccionario
- Ejercicios sobre las Propiedades de las Potencias
Propiedades de las Potencias
Sean \( a \) y \( b \) números reales distintos de cero, y sean \( m \) y \( n \) números enteros. Las potencias gozan de las siguientes propiedades fundamentales:
Producto de potencias con la misma base:
El producto de dos potencias con la misma base es una potencia que tiene por base la misma base y como exponente la suma de los exponentes:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Por definición:
\[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ veces}} \quad , \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ veces}} \]
Por tanto, multiplicando las dos potencias:
\[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ veces}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ veces}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m+n \text{ veces}} = a^{m+n} \]
División de potencias con la misma base:
El resultado de la división de dos potencias con la misma base es una potencia que tiene por base la misma base y por exponente la diferencia de los exponentes.
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{con } a \neq 0 \]
Por definición:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ veces}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ veces}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{(m-n) \text{ veces}} = a^{m-n}. \]
Potencia de una potencia:
La potencia de una potencia es una potencia que tiene por base la misma base y por exponente el producto de los exponentes:
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
Por definición:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ veces}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{m \cdot n \text{ veces}} = a^{m \cdot n}. \]
Producto de potencias con bases diferentes pero mismo exponente:
La potencia de un producto es el producto de las potencias de los factores individuales:
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Por definición:
\[ (a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ veces}} = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ veces}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ veces}}) = a^n \cdot b^n. \]
Cociente de potencias con bases diferentes pero mismo exponente:
La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del numerador y del denominador:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{con } b \neq 0 \]
Por definición:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ veces}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ veces}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ veces}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Potencia con Exponente Cero
Cuando extendemos una definición (en este caso las potencias) a nuevos casos (como el exponente cero), queremos que las propiedades ya válidas en los casos conocidos sigan siendo válidas también en los nuevos casos.
Para \(a \neq 0\) y para exponentes positivos, sabemos que vale la propiedad fundamental:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Consideremos un número natural cualquiera \(n\). Por la propiedad de las potencias debe cumplirse:
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 \]
Pero también sabemos que:
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^n \cdot \frac{1}{a^n} = 1 \]
Por tanto, por la propiedad transitiva \( a^0 = 1 \).
Esta definición mantiene coherentes todas las propiedades de las potencias. Por ejemplo:
\[ a^m \cdot a^0 = a^m \cdot 1 = a^m = a^{m+0} \]
\[ \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 = 1 \]
La definición \(a^0 = 1\) no es arbitraria, sino que es la única que garantiza la coherencia de las reglas algebraicas de las potencias.
Potencias con Exponente Negativo
Un número elevado a un exponente negativo es igual al recíproco de la potencia con exponente positivo:
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{con } a \neq 0 \]
Esta definición deriva de la necesidad de mantener la coherencia con la propiedad de la división de potencias. Si queremos que siempre se cumpla \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), entonces para \(m < n\) obtenemos un exponente negativo en el resultado.
Por definición de división:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} = \frac{1}{a^{-(m-n)}} = a^{-(n-m)} = a^{m-n} \]
Esta definición garantiza que todas las propiedades de las potencias se extiendan coherentemente a los exponentes negativos. Por ejemplo:
\[ a^m \cdot a^{-n} = a^m \cdot \frac{1}{a^n} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} = a^{m+(-n)} \]
Potencias con Exponente Fraccionario
Para extender la definición de potencia a los exponentes fraccionarios, debemos mantener la coherencia con las propiedades ya establecidas para los exponentes enteros.
Por definición, la expresión \(a^{\frac{n}{m}}\) indica la raíz \(m\)-ésima de \(a^n\), es decir:
\[ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \quad \text{con } a \geq 0, \, m > 0 \]
Esta definición puede escribirse equivalentemente como:
\[ a^{\frac{n}{m}} = (\sqrt[m]{a})^n \]
La definición no es arbitraria sino que deriva de la necesidad de preservar la propiedad fundamental de las potencias. Si queremos que siga cumpliéndose \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\), entonces para el exponente \(\frac{1}{m}\) debe necesariamente cumplirse:
\[ (a^{\frac{1}{m}})^m = a^{\frac{1}{m} \cdot m} = a^1 = a \]
Esto significa que \(a^{\frac{1}{m}}\) es aquel número que, elevado a la potencia \(m\), da como resultado \(a\). Por definición de raíz, esto es exactamente \(\sqrt[m]{a}\).
Todas las propiedades de las potencias se extienden naturalmente a los exponentes fraccionarios:
\[ a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} + \frac{r}{s}} = a^{\frac{ps + qr}{qs}} \]
La definición garantiza que se respete la propiedad general de las potencias y mantiene la coherencia de toda la estructura algebraica.
Ejercicios sobre las Propiedades de las Potencias
Ejercicio 1. Simplifica: \( a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 \)
Solución. Aplicamos la propiedad del producto de potencias con la misma base, sumando los exponentes:
\begin{align} a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 &= a^{5+3} \cdot b^{2+4} \\ &= a^8 \cdot b^6 \end{align}
Resultado: \( a^8 \cdot b^6 \).
Ejercicio 2. Simplifica \( (a^3 \cdot b^2)^4 \).
Solución. Aplicamos la propiedad de las potencias al producto, elevando cada factor al nuevo exponente:
\[ \begin{align*} (a^3 \cdot b^2)^4 &= (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 \\ &= a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} \\ &= a^{12} \cdot b^8 \end{align*} \]
Resultado: \( a^{12} \cdot b^8 \).
Ejercicio 3. Simplifica:
\[ \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} \]
Solución. Utilizamos la propiedad de la división de potencias con la misma base, restando los exponentes:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} &= \frac{a^6}{a^2} \cdot \frac{b^8}{b^3} \\ &= a^{6-2} \cdot b^{8-3} \\ &= a^4 \cdot b^5 \end{align}
Resultado: \( a^4 \cdot b^5 \).
Ejercicio 4. Simplifica:
\[ \left(\frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2}\right)^2 \]
Solución. Comenzamos simplificando los términos dentro del paréntesis, luego aplicamos la potencia al resultado:
\[ \begin{align} \frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2} &= \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^5}{b^2} \\ &= a^{3-1} \cdot b^{5-2} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align} \]
Ahora, aplicamos la potencia al resultado simplificado:
\[ \begin{align} \left(a^2 \cdot b^3\right)^2 &= (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \\ &= a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \\ &= a^4 \cdot b^6 \end{align} \]
Resultado: \( a^4 \cdot b^6 \).
Ejercicio 5. Simplifica:
\[ \frac{(a^3 \cdot b^2)^2 \cdot b^4}{a^4 \cdot b^5} \]
Solución. Comenzamos calculando la potencia del numerador:
\[ \begin{align} (a^3 \cdot b^2)^2 &= (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \\ &= a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} \\ &= a^6 \cdot b^4 \end{align} \]
Agregamos el término \( b^4 \) al numerador:
\begin{align} a^6 \cdot b^4 \cdot b^4 &= a^6 \cdot b^{4+4} \\ &= a^6 \cdot b^8 \end{align}
Ahora simplificamos el cociente:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^4 \cdot b^5} &= \frac{a^6}{a^4} \cdot \frac{b^8}{b^5} \\ &= a^{6-4} \cdot b^{8-5} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align}
Resultado: \( a^2 \cdot b^3 \).