Dado un número real positivo \( x \) y una base \( b > 0 \) con \( b \neq 1 \), el logaritmo de \( x \) en base \( b \) ( \( \log_b(x) \) ), es el exponente \( y \) al cual se debe elevar \( b \) para obtener \( x \). Formalmente:
\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]
Identidad
- \( b^{\log_b(a)} = a \)
Si \( x = \log_b(a) \), entonces por definición \( b^x = a \). Sustituyendo \( x \) con \( \log_b(a) \), obtenemos la igualdad buscada: \[ b^{\log_b(a)} = a \]
Regla del Exponente
- \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)
Consideremos \( y = \log_b(x) \). De \( b^y = x \), elevamos ambos lados a la potencia \( n \) y aplicamos la propiedad \( (b^y)^n = b^{ny} \):
\[ (b^y)^n = x^n \implies b^{ny} = x^n \]
Aplicando la definición del logaritmo a \( x^n \), obtenemos:
\[ \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \]
Regla del Producto
- \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)
Sea \( m = \log_b(x) \) y \( n = \log_b(y) \). Por definición, tenemos \( b^m = x \) y \( b^n = y \). Como \( \log_b(b^{m+n}) = m + n \), obtenemos la regla del producto: \[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \]
Regla del Cociente
- \(\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)
Sea nuevamente \( m = \log_b(x) \) y \( n = \log_b(y) \). Como \( \frac{x}{y} = b^m \cdot b^{-n} = b^{m-n} \), el logaritmo del cociente se convierte en: \[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{m-n}) = m - n \implies \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \]
Cambio de Base
- \(\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}\)
Si tomamos el logaritmo en base \( c \) de ambos lados de \( b^y = x \), obtenemos: \[ y \cdot \log_c(b) = \log_c(x) \implies y = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \]
y por lo tanto: \[ \log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \]
