Para comprender a fondo las propiedades de los logaritmos, comenzaremos desde su definición. A partir de aquí, demostraremos paso a paso las principales reglas que permiten simplificar y manipular las expresiones logarítmicas. Cada propiedad estará acompañada de un ejercicio resuelto para poner en práctica lo aprendido.
Definición. Dado un número real positivo \( x > 0 \) y una base \( b > 0 \) con \( b \neq 1 \), el logaritmo de \( x \) en base \( b \), indicado con \( \log_b(x) \), es el exponente \( y \) tal que \( b^y = x \). Formalmente:
\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]
Índice
Identidad fundamental
La identidad fundamental de los logaritmos nos dice que si calculamos \( b^{\log_b(a)} \), obtenemos \( a \). Esta propiedad es esencial para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
\[ b^{\log_b(a)} = a \quad \text{con} \quad a > 0 \]
Esta es una consecuencia directa de la definición de logaritmo. En efecto, \( \log_b(a) \) es precisamente aquel exponente que, cuando \( b \) se eleva a él, da como resultado \( a \).
Ejercicio. Calcula \( 3^{\log_3(81)} \).
Solución. Usando la propiedad \( b^{\log_b(a)} = a \), podemos escribir:
\[ 3^{\log_3(81)} = 81 \]
Resultado: \( 81 \).
Regla del exponente
La regla del exponente nos permite calcular el logaritmo de una potencia. Esta regla transforma el logaritmo de una potencia en el producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
\[\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \quad \text{con} \quad x > 0 \]
Demostración. Sea \( k = \log_b(x) \). Por definición de logaritmo, esto significa que \( b^k = x \). Por tanto:
\[ \log_b(x^n) = \log_b((b^k)^n) = \log_b(b^{kn}) = kn = n \cdot \log_b(x) \]
Ejercicio. Simplifica \( \log_2(32^3) \).
Solución. Usamos la regla \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \):
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot \log_2(32) \]
Dado que \( 32 = 2^5 \), tenemos:
\[ \log_2(32) = 5 \]
Por tanto:
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot 5 = 15 \]
Resultado: \( 15 \).
Regla del producto
La regla del producto nos dice que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Esta regla es fundamental para simplificar expresiones con productos.
\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \quad \text{con} \quad x, y > 0 \]
Demostración. Sean \( k = \log_b(x) \) y \( h = \log_b(y) \). Por definición de logaritmo: \( b^k = x \) y \( b^h = y \). Por tanto:
\[ x \cdot y = b^k \cdot b^h = b^{k+h} \]
\[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(b^{k+h}) = k + h = \log_b(x) + \log_b(y) \]
Ejercicio. Calcula \( \log_5(25) + \log_5(4) \) y compara con \( \log_5(100) \).
Solución. Usamos la regla del producto:
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(25 \cdot 4) \]
Dado que \( 25 \cdot 4 = 100 \), tenemos:
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \]
Dado que \( 100 = 10^2 \) y necesitamos expresarlo en base 5, calculamos:
\[ \log_5(100) = \log_5(10^2) = 2 \log_5(10) \]
Resultado: \( \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \).
Regla del cociente
La regla del cociente nos dice que el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos. Esta regla es útil para simplificar expresiones con fracciones.
\[\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \quad \text{con} \quad x, y > 0 \]
Demostración. Sean \( k = \log_b(x) \) y \( h = \log_b(y) \). Por definición de logaritmo: \( b^k = x \) y \( b^h = y \). Por tanto:
\[ \frac{x}{y} = \frac{b^k}{b^h} = b^{k-h} \]
\[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{k-h}) = k - h = \log_b(x) - \log_b(y) \]
Ejercicio. Simplifica \( \log_3(81) - \log_3(9) \).
Solución. Usamos la regla del cociente:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) \]
Dado que \( \displaystyle\frac{81}{9} = 9 \), tenemos:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3(9) \]
Dado que \( 9 = 3^2 \), se sigue que:
\[ \log_3(9) = 2 \]
Resultado: \( 2 \).
Cambio de base
La fórmula del cambio de base nos permite expresar un logaritmo en una base cualquiera usando los logaritmos en otra base. Es particularmente útil cuando queremos usar la calculadora, que a menudo solo tiene las teclas \( \ln \) y \( \log_{10} \).
\[\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \quad \text{con} \quad x, b > 0 \quad , \quad b \neq 1 \quad , \quad c > 0 \quad ,\quad c \neq 1 \]
Ejercicio. Escribe \( \log_2(40) \) usando el logaritmo natural (\( \ln \)).
Solución. Usamos la fórmula del cambio de base:
\[ \log_2(40) = \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \]
Resultado: \( \displaystyle \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \).