El Teorema de Weierstrass establece que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado necesariamente alcanza un valor máximo y un valor mínimo.
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Teorema de Weierstrass
Sea \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una función continua en un intervalo cerrado y acotado \( [a,b] \subseteq \mathbb{R} \). Entonces \( f \) está acotada y alcanza su máximo y mínimo absolutos en \( [a,b] \).
Demostración. Consideremos el conjunto de valores tomados por la función \( f \) en \( [a,b] \), que denotamos por \( f([a,b]) \). Puesto que \( f \) es continua en \( [a,b] \), la imagen de \( f \) es cerrada. Además, siendo \( [a,b] \) un intervalo cerrado y acotado, \( f([a,b]) \) resulta también un conjunto acotado.
Definimos:
\[ M = \sup f([a,b]) \quad \text{y} \quad m = \inf f([a,b]). \]
Nuestro objetivo es mostrar que existen puntos \( x_M, x_m \in [a,b] \) tales que: \[ f(x_M) = M \quad \text{y} \quad f(x_m) = m. \]
Existencia del máximo
Por la definición de \( M \) como supremo, existe una sucesión de valores \( \{ y_n \} \subseteq f([a,b]) \) tal que \( y_n \to M \). Esto implica que existe una sucesión de puntos \( \{ x_n \} \subseteq [a,b] \) para la cual: \[ f(x_n) = y_n \to M. \] La sucesión \( \{ x_n \} \) está contenida en el intervalo compacto \( [a,b] \), por tanto, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, admite una subsucesión \( \{ x_{n_k} \} \) convergente a un punto \( x \in [a,b] \).
Por la continuidad de \( f \), se tiene: \[ f(x_{n_k}) \to f(x). \] Pero como \( f(x_{n_k}) \to M \), se sigue que: \[ f(x) = M. \] Por tanto, existe al menos un punto \( x_M \in [a,b] \) tal que \( f(x_M) = M \).
Existencia del mínimo
Ahora demostramos la existencia del mínimo con el mismo procedimiento. Por la definición de \( m \) como ínfimo, existe una sucesión \( \{ z_n \} \subseteq f([a,b]) \) tal que \( z_n \to m \). Por tanto existe una sucesión de puntos \( \{ w_n \} \subseteq [a,b] \) para la cual: \[ f(w_n) = z_n \to m. \] También en este caso, la sucesión \( \{ w_n \} \) está contenida en \( [a,b] \). Aplicando nuevamente el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión \( \{ w_{n_k} \} \) que converge a un punto \( x' \in [a,b] \).
Por la continuidad de \( f \), se tiene: \[ f(w_{n_k}) \to f(x'). \] Puesto que \( f(w_{n_k}) \to m \), se deduce que: \[ f(x') = m. \] En consecuencia, existe un punto \( x_m \in [a,b] \) tal que \( f(x_m) = m \).
Hemos demostrado que la función continua \( f \) definida en un intervalo cerrado y acotado \( [a,b] \) está acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo en al menos un punto de \( [a,b] \).