El Teorema de Lagrange, conocido también como teorema del valor medio, es un resultado fundamental en análisis matemático. Este teorema establece que, dada una función continua en un intervalo cerrado \( [a, b]\) y derivable en \( (a, b) \), existe al menos un punto en el cual la derivada coincide con la razón incremental entre los extremos del intervalo. La demostración se basa en el Teorema de Rolle y en la construcción de una función auxiliar.
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Teorema de Lagrange (o del Valor Medio)
Sea \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua en \([a,b]\) y derivable en cada punto de \( (a,b) \). Entonces existe al menos un punto \( \xi \in (a,b) \) tal que:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Demostración. Para demostrar este teorema, construimos una función auxiliar \(F(x)\) que nos permitirá aplicar el Teorema de Rolle. Definimos:
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Esta función \(F(x)\) es la diferencia entre \(f(x)\) y la recta que pasa por los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\). Es fácil verificar que \(F(a) = F(b) = 0\). Además, \(F\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), heredando estas propiedades de \(f\).
Aplicando el Teorema de Rolle a \(F\), existe al menos un punto \(\xi \in (a,b)\) tal que \(F'(\xi) = 0\). Calculando la derivada de \(F\) obtenemos:
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Por tanto, \(F'(\xi) = 0\) implica la tesis del teorema. Este punto \( \xi \) no es necesariamente único.
Corolarios del Teorema de Lagrange
Corolario 1. Si una función tiene derivada nula en cada punto de un intervalo, entonces la función es constante en ese intervalo.
Demostración. Fijamos un punto \(x_0\) en el intervalo. Para cualquier otro punto \(x\), aplicando el teorema de Lagrange al intervalo \([x_0,x]\), obtenemos:
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Por tanto \(f(x) = f(x_0)\) para todo \(x\) en el intervalo.
Corolario 2. Si \(f\) es derivable en un intervalo \(I\) y \(f'(x) \geq 0\) para todo \(x \in I\), entonces \(f\) es no decreciente en \(I\). Análogamente, si \(f'(x) \leq 0\), entonces \(f\) es no creciente. Si \(f'(x) > 0\) para todo \(x \in I\), entonces \(f\) es estrictamente creciente; si \(f'(x) < 0\), entonces \(f\) es estrictamente decreciente.
Demostración. Tomados dos puntos cualesquiera \(x_1 < x_2\) en \(I\), el teorema de Lagrange nos dice que:
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
siendo \(f'(\xi) \geq 0\) y \(x_2 - x_1 > 0\). Por tanto \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Si \(f'(\xi) > 0\), entonces \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corolario 3. Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) para todo \(x \in (a,b)\), entonces:
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Demostración. Aplicando el teorema de Lagrange, sabemos que existe \(\xi\) entre \(a\) y \(x\) tal que:
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
Y puesto que \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), la tesis se sigue inmediatamente.