Las sucesiones monótonas (tanto crecientes como decrecientes) disfrutan de una propiedad muy importante: siempre poseen límite, finito o infinito. Este resultado, conocido como teorema del límite de una sucesión monótona, nos dice precisamente que una sucesión creciente tiende a su supremo, mientras que una sucesión decreciente tiende a su ínfimo.
Índice
Teorema (límite de una sucesión monótona). Sea \( \{ a_n \}\) una sucesión monótona. Entonces posee límite y se tiene
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{cases} \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ +\infty \} &\text{si} \ \{ a_n \} \ \text{es creciente,} \\ \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ -\infty \} &\text{si} \ \{ a_n \} \ \text{es decreciente.} \end{cases} \]
Demostración para \( a_n \) Creciente
Demostración (\( \{ a_n \} \) creciente). Sea \(S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Por definición de supremo:
\[\forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad a_n \leq S\]
\[\forall \varepsilon > 0\ \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad S - \varepsilon < a_k\]
Puesto que la sucesión es creciente, para todo \(n \geq k\) tenemos:
\[S - \varepsilon < a_k \leq a_n \leq S\]
Por tanto:
\[ |a_n - S| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
En consecuencia, \(\lim_{n \to \infty} a_n = S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Si en cambio \(S = +\infty\), entonces \(\{a_n\}\) no tiene mayorantes y por tanto
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu > M;\]
por el carácter creciente de \(\{a_n\}\) se sigue que
\[a_n \geq a_\nu > M \quad \forall n \geq \nu \]
es decir, \(a_n \to +\infty\) cuando \(n \to +\infty\).
Demostración para \( a_n \) Decreciente
Demostración (\( \{ a_n \} \) decreciente). Sea \(L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Por definición de ínfimo:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_n \]
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_k < L + \varepsilon \]
Puesto que la sucesión es decreciente, para todo \(n \geq k\) tenemos:
\[ L \leq a_n \leq a_k < L + \varepsilon \]
Por tanto:
\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
En consecuencia, \(\lim_{n \to \infty} a_n = L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Si en cambio \(L = -\infty\), entonces \(\{a_n\}\) no tiene minorantes y por tanto
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu < -M;\]
por el carácter decreciente de \(\{a_n\}\) se sigue que
\[a_n \leq a_\nu < -M \quad \forall n \geq \nu \]
es decir, \(a_n \to -\infty\) cuando \(n \to +\infty\).
En ambos casos, hemos demostrado que el límite existe y es igual al supremo en el caso creciente y al ínfimo en el caso decreciente.