En esta página veremos cómo calcular la derivada del logaritmo en base \( b > 0 \) utilizando dos formas equivalentes para expresar el cociente incremental: para \( h \to 0 \) y para \( x \to x_0 \):
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
Índice
- Límite del cociente de diferencias para \( h \to 0 \)
- Límite del cociente de diferencias para \( x \to x_0 \)
Límite del cociente de diferencias para \( h \to 0 \)
Consideremos la función \( f(x) = \log_b(x) \). La derivada de \( f(x) \) está dada por:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(x + h) - \log_b(x)}{h} \quad ( * ) \]
Utilizamos la fórmula del cambio de base de los logaritmos (Propiedades de los Logaritmos):
\[ \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
Por tanto, el numerador en \( (*) \) se convierte en:
\[ \log_b(x + h) - \log_b(x) = \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{\ln(b)} \]
Simplificando:
\[ f'(x) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \]
Ya sabemos que:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} = \frac{1}{x} \]
Por tanto:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)} \]
Encontramos entonces que la derivada de \( \log_b(x) \) es:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]
Límite del cociente de diferencias para \( x \to x_0 \)
Consideremos ahora el cociente incremental para \( x \to x_0 \):
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\log_b(x) - \log_b(x_0)}{x - x_0} \]
Aplicando la fórmula del cambio de base de los logaritmos (Propiedades de los Logaritmos)
\[ \log_b(x) - \log_b(x_0) = \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{\ln(b)} \]
Simplificando:
\[ f'(x_0) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Sabemos que:
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} = \frac{1}{x_0} \]
Por tanto:
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0 \ln(b)} \]
También en este caso, obtenemos:
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}, \quad \forall x > 0 \]