Una ecuación de primer grado es un polinomio de primer grado igualado a cero. En general, una ecuación es de primer grado si puede escribirse en la forma canónica:
\[ ax + b = 0 \quad \text{con} \quad a \neq 0 \]
La parte que está a la izquierda del signo de igualdad se llama primer miembro, mientras que la parte que está a la derecha se llama segundo miembro.
Índice
- Cómo resolver una ecuación de primer grado
- Primer principio de equivalencia
- Segundo principio de equivalencia
- Ejercicios
- Errores comunes que evitar
- Significado geométrico
Cómo resolver una ecuación de primer grado
Resolver una ecuación de primer grado significa encontrar el valor que, al sustituirse en la incógnita \( x \), satisface la ecuación. Esto equivale a decir que el valor (solución de la ecuación) debe hacer verdadera la igualdad. El proceso de resolución implica algunos pasos, llamados principios de equivalencia de las ecuaciones.
Primer principio de equivalencia
El primer principio de equivalencia establece que, sumando o restando a ambos miembros de una ecuación una cantidad o una expresión algebraica, el conjunto de soluciones no cambia.
Gracias a este principio, podemos restar la cantidad \( -b \) en ambos miembros:
\[ ax = -b \]
Nota que sumar o restar una cantidad en ambos miembros equivale a "pasarla" de un miembro al otro cambiando su signo. Por ahora, hemos trasladado \( b \) al segundo miembro cambiando su signo a \( -b \).
Segundo principio de equivalencia
El segundo principio de equivalencia establece que, multiplicando o dividiendo por un mismo número distinto de cero, el conjunto de soluciones de la ecuación no cambia.
Aplicando este principio a la ecuación equivalente \( ax = -b \), dividiendo por \( a \neq 0 \) en ambos miembros, obtenemos:
\[ x = -\frac{b}{a} \]
Es importante señalar que \( a \) debe ser distinto de cero para que la ecuación tenga sentido. De hecho, si \( a = 0 \), la ecuación se convertiría en \( 0 \cdot x + b = 0 \), lo que implica \( b = 0 \), que no representa una ecuación en \( x \) y sería imposible si \( b \neq 0 \).
A partir de ahora, el objetivo será aislar la variable \( x \) en el primer miembro o en el segundo (no hay diferencia).
Ejercicios
Ejercicio 1. Resolver la ecuación \( 3x - 1 = 0\).
Solución. Pasamos \( -1 \) al segundo miembro (cambiando su signo):
\[ 3x = 1 \]
Finalmente, dividiendo ambos miembros por \( 3 \) obtenemos la solución buscada:
\[ x = \frac{1}{3} \]
Verificación. Para verificar que es la solución correcta, sustituimos el valor encontrado en la ecuación original. Obtenemos:
\[ 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0 \]
Por lo tanto, la solución es correcta.
Ejercicio 2: Resolver la ecuación de primer grado \(\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)=-x+1\).
Solución. Comenzamos aislando la incógnita \( x \) en el primer miembro:
\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \implies \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = -x + 1 \]
Ahora sumamos \(x\) en ambos miembros de la ecuación:
\[ \frac{x}{2} + x - \frac{1}{2} = 1 \]
Simplificamos transformando \(x\) en un término con denominador común:
\[ \frac{x}{2} + \frac{2x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{3x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \]
Sumamos \(\displaystyle\frac{1}{2}\) en ambos miembros:
\[ \frac{3x}{2} = \frac{3}{2} \]
Ahora multiplicamos ambos miembros por \(\displaystyle\frac{2}{3}\) para despejar \(x\):
\[ x = 1 \]
Entonces, la solución es \( x = 1 \).
Verificación. Como antes, sustituimos \( x = 1 \) en la ecuación original:
\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \]
Cuando \( x = 1 \), obtenemos:
\[ \frac{1}{2}(1 - 1) = -1 + 1 \]
Calculamos ambos miembros:
\[ \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \quad \text{y} \quad -1 + 1 = 0 \]
Los dos miembros son iguales, por lo que la solución es correcta.
Ejercicio 3. Resolver la ecuación \( 5(x - 2) - 3(2x + 1) = 7 - 4x \)
Solución. Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 5x - 10 - 6x - 3 = 7 - 4x \]
\[ -x - 13 = 7 - 4x \]
Pasamos los términos con \(x\) al primer miembro y los términos constantes al segundo miembro:
\[ -x + 4x = 7 + 13 \]
\[ 3x = 20 \]
Dividimos ambos miembros por \(3\):
\[ x = \frac{20}{3} \]
La solución es \( x = \displaystyle \frac{20}{3} \).
Errores comunes a evitar
Al resolver ecuaciones de primer grado, es importante prestar atención a algunos errores frecuentes:
Error en el cambio de signo: Al mover un término de un miembro a otro, hay que recordar cambiar su signo. Por ejemplo, en la ecuación \(2x + 3 = 5\), al mover el \(3\) se obtiene \(2x = 5 - 3\) y no \(2x = 5 + 3\).
Distribución incompleta: Cuando se tiene una expresión del tipo \(3(x + 2)\), el coeficiente \(3\) debe multiplicarse por todos los términos dentro del paréntesis. Un error común es escribir \(3x + 2\) en lugar de la correcta \(3x + 6\).
Errores con fracciones: Cuando se tiene una ecuación como \(\displaystyle \frac{x}{2} = 3\), para aislar \(x\) se debe multiplicar ambos los miembros por \(2\), obteniendo \(x = 6\). Es incorrecto escribir \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).
Simplificación imprecisa: En una ecuación como \(2x - x = 5\), no se debe olvidar simplificar los términos similares antes de proceder. La forma correcta es \(x = 5\).
Falta de verificación: Saltarse el paso de verificación puede llevar a no darse cuenta de posibles errores de cálculo. Siempre se recomienda sustituir la solución encontrada en la ecuación original para confirmar que es correcta.
Significado Geométrico
Resolver una ecuación de primer grado \( ax + b = 0\) significa encontrar el valor en el cual la recta de ecuación
\[ y = ax + b \]
corta el eje de las abscisas (eje \( x \)). Por ejemplo, la recta de ecuación \( y = 2x - 1 \)
corta el eje de las abscisas en el punto \( x = \displaystyle \frac{1}{2} \), como se muestra en la figura.
Hemos dicho que la solución de una ecuación de primer grado \( ax + b = 0 \) es la abscisa en la que la recta corta al eje \(x\). Ahora, planteémonos otra pregunta: ¿cómo podemos determinar el valor de \( x \) para el cual la recta \( y = ax + b \) toma un valor específico, por ejemplo \( y = 2 \)?
Para hacer esto, basta con imponer \( y = 2 \) en la ecuación de la recta. Así obtenemos \( 2 = 2x - 1 \iff 2x - 3 = 0 \), por lo tanto:
\[ x=\frac{3}{2} \]
Como se muestra en la figura, la solución que hemos encontrado corresponde a la ordenada \(y=2\).
