Las sucesiones numéricas y los límites de sucesiones son conceptos fundamentales en análisis matemático. Comprender el comportamiento de una sucesión cuando \(n \to \pm \infty\) es crucial para determinar si una sucesión \( a_n \) es convergente, divergente o irregular.
Índice
- Definición de Sucesión Convergente
- Definición de Sucesión Divergente a \(+\infty\)
- Definición de Sucesión Divergente a \(-\infty\)
- Definición de Sucesión Irregular
Definición de Sucesión Convergente
Una sucesión \( a_n \) se dice convergente a \( L \) si el valor absoluto de la diferencia entre \( a_n \) y \( L \) puede hacerse arbitrariamente pequeño para \( n \) suficientemente grande. Intuitivamente, los términos de la sucesión se aproximan indefinidamente al valor límite \( L \). Más formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_{\varepsilon} \quad |a_n - L| < \varepsilon \]
Geométricamente, esto significa que para todo intervalo \((L - \varepsilon, L + \varepsilon)\) centrado en \(L\), existe un punto a partir del cual todos los términos de la sucesión caen dentro de este intervalo.
Ejercicio 1: Demostrar que \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \) converge a cero.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Para todo \( \varepsilon > 0 \), basta elegir \( n_{\varepsilon} > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} \). Entonces para todo \( n \geq n_{\varepsilon} \), se tiene:
\[ \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Por tanto, la sucesión converge a cero.
Ejercicio 2: Demostrar que \( a_n = \displaystyle \frac{n}{n+1} \) converge a 1.
\[ \left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| = \frac{1}{n+1} < \varepsilon \]
Esto se verifica si \( n > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} - 1 \). Por tanto, la sucesión converge a 1.
Definición de Sucesión Divergente a \(+\infty\)
Una sucesión \( a_n \) diverge a \(+\infty\) si sus términos se vuelven arbitrariamente grandes. Formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n > M \]
Ejercicio 3: Demostrar que \( a_n = 2n \) diverge a \(+\infty\).
\[ 2n > M \Rightarrow n > \frac{M}{2} \]
Elegido \( n_M > \displaystyle \frac{M}{2} \), para todo \( n \geq n_M \) se tiene \( a_n = 2n > M \). Por tanto, la sucesión diverge a \(+\infty\).
Definición de Sucesión Divergente a \(-\infty\)
Una sucesión \( a_n \) diverge a \(-\infty\) si sus términos se vuelven arbitrariamente negativos. Formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n < -M \]
Ejercicio 4: Demostrar que \( b_n = -3n \) diverge a \(-\infty\).
\[ -3n < -M \Rightarrow n > \frac{M}{3} \]
Elegido \( n_M > \displaystyle \frac{M}{3} \), se tiene \( b_n < -M \). Por consiguiente, \( \lim_{n \to \infty} b_n = -\infty \).
Ejercicio 5: Demostrar que \( a_n = -\ln(n) \) diverge a \(-\infty\).
\[ -\ln(n) < -M \Rightarrow n > e^M \]
Elegido \( n_M > e^M \), se tiene \( a_n = -\ln(n) < -M \). Por tanto, la sucesión diverge a \(-\infty\).
Definición de Sucesión Irregular
Una sucesión \( a_n \) se dice irregular si no es ni convergente ni divergente. Los términos oscilan sin tender a un valor límite.
Ejercicio 6: Estudiar la sucesión \( a_n = (-1)^n \).
La sucesión está acotada, pero no converge. En efecto:
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} = -1 \]
Dos subsucesiones tienen límites distintos, por lo que la sucesión es irregular.
Ejercicio 7: Estudiar la sucesión \( a_n = \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \).
Los valores son: \( 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots \). La sucesión está acotada, pero no converge. En efecto:
\[ \lim_{n \to \infty} a_{4n-3} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} a_{4n-2} = 0 \]
También aquí, dos subsucesiones tienen límites distintos. La sucesión es, por tanto, irregular.
Estos ejemplos muestran que estar acotada no implica convergencia: una sucesión puede oscilar indefinidamente.