Las sucesiones numéricas y los límites de sucesiones son conceptos fundamentales en el análisis matemático. Comprender el comportamiento de una sucesión cuando \(n \to \pm \infty \) es crucial para determinar si una sucesión \( a_n \) es convergente, divergente o irregular.
Ìndex
- Sucesión Convergente
- Sucesión Divergente a \(+\infty\)
- Sucesión Divergente a \(-\infty\)
- Sucesión Irregular
Sucesión Convergente
Una sucesión \( a_n \) se dice convergente a \( L \) si el valor absoluto de la diferencia entre \( a_n \) y \( L \) puede hacerse arbitrariamente pequeño para \( n \) suficientemente grande.
En otras palabras, diremos que \( a_n \) tiende a \( L \) cuando \( n \to \infty \) si para cada \( \varepsilon > 0 \), existe un \( n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \) tal que para todos los \( n \geq n_{\varepsilon} \), el valor absoluto \(| a_n - L | \) es menor que \( \varepsilon \). Más formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \, : \, |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_{\varepsilon} \]
Ejemplo: Consideremos la sucesión \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \). Demostraremos que \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).
Para demostrar la convergencia, usamos la definición de límite. Debemos verificar que para cada \( \varepsilon > 0 \), exista un \( n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \) tal que para todos los \( n \geq n_{\varepsilon} \) se cumpla:
\[ |a_n - 0| = \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
De esta desigualdad obtenemos:
\[ \frac{1}{n} < \varepsilon \implies n > \frac{1}{\varepsilon} \]
Entonces, elegimos \( n_{\varepsilon} = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil \) (parte superior entera). Para cada \( n \geq n_{\varepsilon} \), se cumple:
\[ \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Esto demuestra que:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]
La demostración sigue directamente de la definición formal de límite y muestra cómo aplicar correctamente el concepto de convergencia. Este enfoque será posteriormente fundamental para demostrar la convergencia de sucesiones más complejas.
Sucesión Divergente a \(+\infty\)
Una sucesión \( a_n \) se dice divergente a \(+\infty\) si sus términos pueden hacerse arbitrariamente grandes para \( n \) suficientemente grande.
En otras palabras, diremos que \( a_n \) tiende a \(+\infty\) cuando \( n \to \infty \) si para cada \( M > 0 \), existe un \( n_{M} \in \mathbb{N} \) tal que para todos los \( n \geq n_{M} \), se cumple \( a_n > M \). Más formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0 \,\, \exists n_{M} \in \mathbb{N} \, : \, a_n > M \quad \forall n \geq n_{M} \]
Ejemplo. Consideremos la sucesión \(a_n = 2n\). Para demostrar que diverge a \(+\infty\), tomamos un número arbitrario \(M > 0\). Debemos encontrar un índice \(n_M\) tal que para cualquier \(n > n_M\), se cumpla \(a_n > M\).
Tomemos \(n_M = \left\lceil\frac{M}{2}\right\rceil\). Si \(n > n_M\), entonces:
\[a_n = 2n > 2\left(\frac{M}{2}\right) = M\]
Entonces hemos demostrado que para cualquier \(M > 0\), existe \(n_M = \left\lceil\frac{M}{2}\right\rceil\) tal que \(a_n > M\) para cualquier \(n > n_M\).
Sucesión Divergente a \(-\infty\)
Una sucesión \( a_n \) se dice divergente a \(-\infty\) si sus términos pueden hacerse arbitrariamente pequeños (negativos) para \( n \) suficientemente grande.
En otras palabras, diremos que \( a_n \) tiende a \(-\infty\) cuando \( n \to \infty \) si para cada \( M > 0 \), existe un \( n_{M} \in \mathbb{N} \) tal que para todos los \( n \geq n_{M} \), se cumple \( a_n < -M \). Más formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0 \,\, \exists n_{M} \in \mathbb{N} \, : \, a_n < -M \quad \forall n \geq n_{M} \]
Ejemplo. Consideremos la sucesión \(b_n = -3n\).
Para demostrar que diverge a \(-\infty\), tomamos un número arbitrario \(M > 0\). Debemos encontrar un índice \(n_M\) tal que para cualquier \(n > n_M\), se cumpla \(b_n < -M\).
Ahora, tomemos \(n_M = \left\lceil\frac{M}{3}\right\rceil\). Si \(n > n_M\), entonces:
\[b_n = -3n < -3\left(\frac{M}{3}\right) = -M\]
Entonces hemos demostrado que para cualquier \(M > 0\), existe \(n_M = \left\lceil\frac{M}{3}\right\rceil\) tal que \(b_n < -M\) para cualquier \(n > n_M\).
Sucesión Irregular
Una sucesión \( a_n \) se dice irregular si no es ni convergente ni divergente a \(+\infty\) o \(-\infty\).
Ejemplo. Consideremos la sucesión:
\[a_n = (-1)^n, \quad n \in \mathbb{N}\]
Esta sucesión no es ni convergente ni divergente. Observemos que está acotada ya que:
\[-1 \leq (-1)^n \leq 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}\]
Ahora, supongamos por contradicción que converge a un límite \( L \):
\[\lim_{n \to \infty} (-1)^n = L \]
Entonces también se tendría:
\[\lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = L \]
Pero \((-1)^{2n} = 1\) para todo \(n\), por lo que \( L = 1\).
Por definición de límite, debería existir \(n_\varepsilon\) tal que:
\[\forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N}: |(-1)^n - 1| < \varepsilon, \quad \forall n > n_\varepsilon\]
Sin embargo, para \(n\) impar mayor que \(n_\varepsilon\):
\[|(-1)^n - 1| = |-1 - 1| = 2\]
Esto es imposible para \(\varepsilon\) arbitrariamente pequeño, por lo que la sucesión no puede converger. Tampoco es divergente porque está acotada.