La desigualdad de Bernoulli, enunciada por el matemático suizo Jacob Bernoulli en 1689, es de fundamental importancia porque permite establecer estimaciones por exceso y por defecto para las funciones exponenciales y polinomiales.
Teorema. (Desigualdad de Bernoulli). Sea \(x \in \mathbb{R}\) tal que \(x \geq -1\). Entonces, para todo \(n \in \mathbb{N}\), se cumple la siguiente desigualdad:
\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]
Demostración. Procedemos por inducción sobre el número natural \(n\).
Base inductiva: Para \(n = 0\), tenemos:
\[ (1 + x)^0 = 1 = 1 + 0 \cdot x \]
por lo que la tesis se verifica.
Hipótesis inductiva: Supongamos que la desigualdad es válida para un cierto \(k \in \mathbb{N}\), es decir:
\[ (1 + x)^k \geq 1 + kx \]
Paso inductivo: Demostremos que la desigualdad se cumple para \(k + 1\). Multiplicamos ambos miembros de la hipótesis inductiva por \((1 + x)\). Esta operación preserva el sentido de la desigualdad, ya que \(x \geq -1\) implica que \((1 + x) \geq 0\). Obtenemos:
\[ \begin{align} (1 + x)^{k+1} & \geq (1 + kx)(1 + x) \\ & = 1 + x + kx + kx^2 \\ & = 1 + (k + 1)x + kx^2 \\ & \geq 1 + (k + 1)x \end{align} \]
La última desigualdad se justifica por el hecho de que \(kx^2 \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) y \(k \in \mathbb{N}\). Por el principio de inducción, la desigualdad queda demostrada para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Observación. La condición \(x \geq -1\) es necesaria para garantizar que la multiplicación por \((1 + x)\) en el paso inductivo preserve el sentido de la desigualdad.
Ejemplo. La desigualdad de Bernoulli puede utilizarse para estimar la función exponencial \(e^x\). Sabiendo que
\[ e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \]
podemos aplicar la desigualdad y obtener una cota inferior.
La desigualdad de Bernoulli nos dice que:
\[ \begin{align*} e^x & = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \\ & \geq \lim_{n \to \infty} \left(1 + n \cdot\frac{x}{n}\right) = 1 + x. \end{align*} \]
Por lo tanto, \(e^x \geq 1 + x\). Este resultado proporciona una estimación simple e inmediata para la función exponencial sin necesidad de realizar cálculos complicados.