Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación es de segundo grado si y solo si puede escribirse en la siguiente forma, conocida como forma canónica:

\[ a x ^ 2 + b x + c = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]

Los números reales \( a , b \) y \( c \) reciben el nombre de coeficiente cuadrático, lineal y término independiente.

Siempre se puede suponer que el coeficiente cuadrático es mayor que cero. De hecho, si \( a < 0 \), basta multiplicar ambos miembros por \( -1 \) para llegar al caso \( a > 0 \).

Índice

• Completación de Cuadrados
• Fórmula Reducida
• Ecuaciones de Segundo Grado Monómicas
• Ecuaciones de Segundo Grado Puras
• Ecuaciones de Segundo Grado Espurias
• Relación entre Suma y Producto de las Raíces
• Ejercicios Resueltos
• Significado Geométrico

En esta sección deduciremos la fórmula general para resolver cualquier ecuación de segundo grado. Empezamos con la forma canónica:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

Para simplificar los cálculos, dividimos todo por \( a \), de modo que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]

Ahora aislamos el término independiente llevándolo al lado derecho:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]

A este punto, aplicamos el método de completación de cuadrados. El truco consiste en agregar y restar el término adecuado para transformar el primer miembro en un cuadrado perfecto. Este término es:

\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]

Lo agregamos en ambos miembros:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]

El primer miembro ahora es el cuadrado de un binomio:

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \]

Reescribimos el segundo miembro con denominador común:

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]

Ahora extraemos la raíz cuadrada en ambos miembros, recordando que la raíz de un cuadrado es el valor absoluto:

\[ \left| x + \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

De aquí obtenemos directamente \( x \):

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Finalmente, aislamos \( x \) y obtenemos la famosa fórmula resolutiva:

\[ x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

El término bajo la raíz, conocido como discriminante e indicado con \( \Delta \), se define como:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

¿Pero qué representa el discriminante? Nos permite ver rápidamente el tipo de soluciones que tendrá la ecuación. Analicémoslo en los tres casos posibles:

• \( \Delta > 0 \): el discriminante es positivo, por lo que la raíz es un número real. Esto significa que la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
• \( \Delta = 0 \): la raíz cuadrada de cero es cero, por lo que la fórmula nos da una única solución repetida. En otras palabras, la ecuación tiene dos soluciones coincidentes (o una solución doble).
• \( \Delta < 0 \): la raíz de un número negativo no es un número real, por lo que la ecuación no tiene soluciones reales, sino dos soluciones complejas con parte imaginaria.

Esto significa que, solo mirando el valor de \( \Delta \), podemos predecir la naturaleza de las soluciones sin necesidad de resolver directamente la ecuación.

La fórmula reducida es una versión simplificada de la fórmula resolutiva de las ecuaciones de segundo grado, útil cuando el coeficiente \( b \) es par.

Consideremos una ecuación de segundo grado en su forma canónica:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Si el coeficiente \( b \) es par, podemos escribirlo como:

\[ b = 2k \]

Sustituyendo en la ecuación obtenemos:

\[ ax^2 + 2kx + c = 0 \]

La fórmula resolutiva clásica es:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Sustituyendo \( b = 2k \):

\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a} \]

Dividiendo el numerador y el denominador por 2:

\[ x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} \]

Finalmente, podemos expresar la fórmula reducida como:

\[ x = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac}}{a} \]

El discriminante reducido se define como:

\[ \Delta' = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]

Ahora comparemos esto con el discriminante de la fórmula completa:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Sustituyendo \( b = 2k \), obtenemos:

\[ \Delta = (2k)^2 - 4ac \]

\[ \Delta = 4k^2 - 4ac \]

Dividiendo todo por 4:

\[ \frac{\Delta}{4} = k^2 - ac \]

Como \( k = \displaystyle \frac{b}{2} \), podemos reescribirlo como:

\[ \frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]

que es exactamente la definición de \( \Delta' \).

Por lo tanto, podemos concluir que:

\[ \Delta' = \frac{\Delta}{4} \]

Una ecuación se dice monómica si se reduce a un único término cuadrático, es decir, de la forma:

\[ ax^2 = 0 \]

Para resolver esta ecuación, dividimos ambos miembros por \( a \) (suponiendo que \( a \neq 0 \)):

\[ x^2 = 0 \]

Extrayendo la raíz cuadrada, obtenemos la solución:

\[ x = 0 \]

Aunque el valor es único, matemáticamente se consideran dos soluciones coincidentes: \( x_1 = x_2 = 0 \).

Una ecuación se dice pura si, en la forma general \( ax^2 + bx + c = 0 \), el coeficiente \( b \) es nulo, reduciéndose a:

\[ ax^2 + c = 0 \]

Para resolver esta ecuación, trasladamos el término constante \( c \) al segundo miembro:

\[ ax^2 = -c \]

Dividimos ambos miembros por \( a \):

\[ x^2 = -\frac{c}{a} \]

Las soluciones existen solo si \( \displaystyle -\frac{c}{a} \geq 0 \), de lo contrario la ecuación no tiene soluciones reales. Si el valor bajo la raíz es positivo, obtenemos:

\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \]

Una ecuación se dice espuria si el término constante es nulo, es decir:

\[ ax^2 + bx = 0 \]

En este caso, podemos resolverla extrayendo \( x \) como factor común:

\[ x (ax + b) = 0 \]

Aplicando la ley de anulación del producto, obtenemos las dos soluciones:

\[ x = 0 \quad \text{o} \quad x = -\frac{b}{a} \]

Estas soluciones también se pueden encontrar aplicando la fórmula resolutiva general de las ecuaciones de segundo grado.

Consideremos la ecuación cuadrática del tipo \( ax^2 + bx + c = 0 \), donde \( a \), \( b \) y \( c \) son los coeficientes. Sean \( x_1 \) y \( x_2 \) las raíces de esta ecuación. Ahora, queremos escribir la ecuación en términos de las raíces. Una ecuación de segundo grado puede escribirse como el producto de los factores \( (x - x_1) \) y \( (x - x_2) \), por lo que podemos escribir:

\[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \]

Desarrollando el producto a la izquierda, obtenemos:

\[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \]

Ahora, por la propiedad distributiva, multiplicamos \( a \) sobre cada término, obteniendo:

\[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \]

En este punto, podemos comparar esta expresión con la ecuación original \( ax^2 + bx + c = 0 \). En particular, vemos que los coeficientes deben ser iguales. Comparando el término lineal, obtenemos:

\[ -a(x_1 + x_2) = b \]

Resolviendo para \( x_1 + x_2 \), obtenemos:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

De manera similar, comparando el término constante, obtenemos:

\[ ax_1x_2 = c \]

Resolviendo para el producto de las raíces, obtenemos:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

En resumen, las raíces \( x_1 \) y \( x_2 \) están relacionadas con los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \) a través de estas dos simples relaciones: la suma de las raíces es \( \displaystyle -\frac{b}{a} \) y el producto de las raíces es \( \displaystyle \frac{c}{a} \). Estas propiedades son fundamentales y nos permiten deducir información importante sobre las raíces sin tener que calcularlas directamente.

Ejercicio 1. Resolver la ecuación de segundo grado \( x^2 - 3x - 5 = 0 \).

Solución. Para resolverla, utilizamos la siguiente fórmula:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

En este caso, los coeficientes son \( a = 1 \), \( b = -3 \) y \( c = -5 \). Aplicando la fórmula:

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \]

Las soluciones son entonces:

\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \quad , \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2} \]

Ejercicio 2 (forma reducida). Encontrar las soluciones de la siguiente ecuación \( x^2 + 6x = 0 \).

Solución. Para resolverla, podemos factorizar el factor común:

\[ x(x + 6) = 0 \]

Las soluciones son entonces: \( x_1 = 0 \) y \( x_2 = -6 \).

Ejercicio 3 (ecuación monómica). Encontrar las soluciones de la ecuación \( x^2 = 16 \).

Solución. Para resolverla, podemos extraer la raíz cuadrada de ambos miembros:

\[ x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \]

Las soluciones son entonces: \( x_1 = 4 \) y \( x_2 = -4 \).

Ejercicio 4 (ecuación pura). Encontrar las soluciones de la ecuación \( x^2 + 9 = 0 \).

Solución. Aislamos \( x^2 \):

\[ x^2 = -9 \]

Dado que no existen números reales que satisfagan esta ecuación, la ecuación no tiene soluciones reales.

Ejercicio 5. Encontrar las soluciones de la siguiente ecuación \( x^2 - 4 = 0 \).

Solución. Aislamos \( x^2 \):

\[ x^2 = 4 \]

Ahora extraemos la raíz cuadrada de ambos miembros:

\[ x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \]

Las soluciones son entonces:

\[ x_1 = 2 \quad , \quad x_2 = -2 \]

Desde el punto de vista geométrico, resolver una ecuación de segundo grado significa encontrar los valores reales (si existen) para los cuales la parábola de ecuación \( y = ax^2 + bx + c \) corta el eje de las \( x \), o, si se quiere, la recta \( y = 0 \).