Los límites de este tipo se encuentran frecuentemente en el cálculo de límites con polinomios o cocientes de polinomios, especialmente cuando se analiza el comportamiento de funciones racionales para valores muy grandes de \(x\).
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} \]
Caso \( n > 0 \)
Queremos demostrar que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad \text{para todo } n > 0. \]
Definición de límite: para cada \( \varepsilon > 0 \), existe \( X > 0 \) tal que si \( x > X \), entonces:
\[ \left| \frac{1}{x^n} - 0 \right| < \varepsilon. \]
Pero como \( \frac{1}{x^n} \) es siempre positivo, podemos reescribir:
\[ \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Ahora, solo necesitamos elegir \( X \) tal que:
\[ X = \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}. \]
Si \( x > X \), entonces:
\[ x > \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \Rightarrow \quad x^n > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Por lo tanto, por la definición de límite, obtenemos:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0. \]
Caso \( n = 0 \)
Si \( n = 0 \), entonces la expresión se convierte simplemente en:
\[ \frac{1}{x^0} = 1. \]
Al ser constante, el límite es:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^0} = 1. \]
Caso \( n < 0 \)
Si \( n < 0 \), podemos escribir \( n = -m \) con \( m > 0 \). En este caso:
\[ \frac{1}{x^n} = \frac{1}{x^{-m}} = x^m. \]
Como \( x^m \to \infty \) cuando \( x \to \infty \), se deduce que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = \infty. \]
Resumamos los tres casos:
- Si \( n > 0 \), entonces \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 0 \).
- Si \( n = 0 \), entonces \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 1 \).
- Si \( n < 0 \), entonces \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = \infty \).
Esta propiedad es útil para estudiar el comportamiento asintótico de funciones racionales.
Ejercicio sobre Límite Notable
Calcula el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1}. \]
Solución. Dividamos tanto el numerador como el denominador por la mayor potencia de \( x \) presente en el denominador, que es \( x^5 \):
\[ \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = \frac{\displaystyle \frac{5x^3}{x^5} + \displaystyle \frac{7}{x^5}}{\displaystyle \frac{2x^5}{x^5} + \displaystyle \frac{4x^2}{x^5} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
Simplificando:
\[ = \frac{5 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^2} + 7 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^5}}{2 + 4 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^3} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
Ahora apliquemos el límite. Como sabemos que \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \) para todo \( n > 0 \), obtenemos:
\[ = \frac{5 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{2 + 4 \cdot 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0. \]
Resultado
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = 0. \]
Este ejercicio muestra cómo el límite notable es útil para analizar el comportamiento de funciones racionales cuando \( x \to \infty \).