El siguiente límite muestra que el crecimiento de la función exponencial \( e^x \) es mucho más rápido que cualquier polinomio \( x^n \). Este resultado es fundamental en análisis matemático y se utiliza en la teoría de órdenes de magnitud y en la complejidad computacional.
Demostremos que:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \]
Criterio de L'Hôpital
Consideremos la función:
\[ f(x) = \frac{e^x}{x^n}. \]
Aplicamos el criterio de L'Hôpital, derivando numerador y denominador \( n \) veces:
- El numerador \( e^x \) permanece invariable.
- El denominador, después de \( n \) derivaciones, se convierte en \( n! \).
Por lo tanto, tenemos:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{n!} = \infty. \]
Comparación de órdenes de magnitud
Otra forma de demostrar el límite es observar que la función \( e^x \) puede escribirse como su serie de Taylor:
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}. \]
Consideremos solo el término con \( k = n+1 \):
\[ e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. \]
Por lo tanto:
\[ \frac{e^x}{x^n} > \frac{x^{n+1}}{(n+1)! x^n} = \frac{x}{(n+1)!}. \]
Como \( \frac{x}{(n+1)!} \to \infty \) cuando \( x \to \infty \), se deduce que \( \frac{e^x}{x^n} \to \infty \).
Método asintótico
También podemos utilizar un enfoque asintótico. Observamos que la razón entre las dos funciones es:
\[ \frac{e^x}{x^n} = e^{x - n \ln x}. \]
Para \( x \) suficientemente grande, el término \( x - n \ln x \) crece indefinidamente, por lo tanto \( e^{x - n \ln x} \to \infty \), y el límite queda demostrado.