Ecco la traduzione perfetta in spagnolo: ---
Queremos demostrar el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \]
Demostraremos el límite utilizando dos métodos distintos: el logaritmo natural y su derivada, y el desarrollo en serie de Taylor.
Logaritmo natural y derivada
Definimos:
\[ y = (1 + x)^{\frac{1}{x}} \]
Aplicamos el logaritmo natural:
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x) \]
Calculamos el límite del término derecho:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]
Utilizando el límite fundamental:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
Lo que implica:
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Desarrollo de Taylor
Utilizamos el desarrollo de Taylor para \( \ln(1 + x) \) en un entorno de \( x = 0 \):
\[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \]
Entonces:
\[ \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2) \]
Tomando el límite cuando \( x \to 0 \), obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
Lo que implica:
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Así hemos demostrado el límite con dos enfoques distintos.
Ejercicios
Utilizando el límite notable, calculemos los siguientes límites:
Ejercicio 1. Calcular:
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + 2x \right)^{\frac{1}{x}} \]
Solución. Definimos \( y = (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} \) y tomamos el logaritmo:
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + 2x) \]
Usando el límite fundamental:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2 \]
Entonces:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e^2 \]
Ejercicio 2. Calcular:
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + x^2 \right)^{\frac{1}{x^2}} \]
Solución. Definimos \( y = (1 + x^2)^{\frac{1}{x^2}} \) y tomamos el logaritmo:
\[ \ln y = \frac{1}{x^2} \ln(1 + x^2) \]
Usando el desarrollo de Taylor:
\[ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \]
Tenemos:
\[ \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \]
Tomando el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e \]