En esta demostración, vamos a calcular el siguiente límite importante:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Este resultado es fundamental, y para demostrarlo utilizaremos dos enfoques distintos.
- Expansión en serie de Taylor
- Demostración del Límite usando la Derivada
- Derivada de la función exponencial
- Conclusión
Expansión en serie de Taylor
Utilizamos la definición de la función exponencial:
\[ a^x = e^{x \ln a}. \]
Expansimos \( e^{x \ln a} \) en una serie de Taylor alrededor de \( x = 0 \):
\[ e^{x \ln a} = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \dots \]
Sustituyendo esta expansión en el límite:
\[ \frac{a^x - 1}{x} = \frac{\left(1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots\right) - 1}{x}. \]
Simplificando:
\[ \frac{x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots}{x}. \]
Dividiendo todo por \( x \):
\[ \ln a + \frac{x \ln^2 a}{2!} + \frac{x^2 \ln^3 a}{3!} + \dots. \]
Cuando \( x \to 0 \), los términos con \( x \) tienden a cero, dejando:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a. \]
Demostración del Límite usando la Derivada
En esta parte de la demostración, calculamos el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Para hacer esto, utilizamos la definición de derivada. La derivada de una función \( f(x) \) en un punto \( x = a \) está definida como:
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]
En nuestro caso, la función es \( f(x) = a^x \), así que necesitamos calcular la derivada de \( f(x) \) en \( x = 0 \). La derivada de \( f(x) = a^x \) es:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{0+h} - a^0}{h}. \]
Como \( a^0 = 1 \), esta expresión se convierte en:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}. \]
¡Esta es exactamente la forma del límite que estamos tratando de calcular!
Derivada de la función exponencial
Para encontrar la derivada de \( a^x \), podemos reescribir \( a^x \) como \( e^{x \ln a} \), donde \( \ln a \) es el logaritmo natural de \( a \). Así, la derivada de \( a^x \) es:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} e^{x \ln a} = e^{x \ln a} \cdot \ln a. \]
Cuando \( x = 0 \), obtenemos:
\[ f'(0) = e^{0 \ln a} \cdot \ln a = 1 \cdot \ln a = \ln a. \]
Conclusión
Así, hemos demostrado que la derivada de la función \( a^x \) en \( x = 0 \) es \( \ln a \), lo que implica que:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a. \]
Este es exactamente el límite que queríamos calcular, concluyendo la demostración.