Las operaciones con límites son de importancia fundamental porque nos permiten calcular el límite de una suma, de un producto o de un cociente deduciéndolo directamente de los límites de las sucesiones individuales. Estas reglas simplifican notablemente los cálculos, permitiendo analizar el comportamiento de funciones complejas sin tener que recurrir a métodos más elaborados.
Índice
Límite de la Suma
Sean \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\) dos sucesiones. Si:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
entonces:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Demostración. Para demostrar este teorema, utilizamos la definición de límite para las sucesiones. Según la definición, \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\) significa que para todo \(\epsilon > 0\), existe un número natural \(N_1\) tal que:
\[ |a_n - A| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N_1. \]
Análogamente, \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\) significa que para todo \(\epsilon > 0\), existe un número natural \(N_2\) tal que:
\[ |b_n - B| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N_2. \]
Ahora, debemos demostrar que:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Para demostrar que \(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B\), debemos mostrar que para todo \(\epsilon > 0\), existe un número natural \(N\) tal que:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N. \]
Se tiene:
\begin{align} |(a_n + b_n) - (A + B)| &= |(a_n + b_n) - (A + B)| \\ &= |(a_n - A) + (b_n - B)| \end{align}
La desigualdad triangular nos asegura que:
\[ |(a_n - A) + (b_n - B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Ahora, para todo \(\epsilon > 0\), dado que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), existe un número natural \(N_1\) tal que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{para todo} \ n \geq N_1. \]
Análogamente, dado que \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), existe un número natural \(N_2\) tal que:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{para todo} \ n \geq N_2. \]
Si elegimos \( N = \max(N_1, N_2) \), tenemos que para todo \(n \geq N\) se cumplen las desigualdades:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{y} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
Ahora, para todo \(n \geq N\):
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Puesto que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{y} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
tenemos:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]
Por tanto, para todo \(\epsilon > 0\), existe un \(N\) tal que para todo \(n \geq N\), se tiene:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \]
Lo que demuestra que:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B \]
Límite del Producto
Para demostrar este teorema, debemos mostrar que para todo \(\epsilon > 0\), existe un número natural \(N\) tal que:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon \quad \text{para todo} \ n \geq N. \]
Dado que \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), para todo \(\epsilon > 0\), existe un número natural \(N_1\) tal que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{para todo} \ n \geq N_1. \]
Dado que \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), para todo \(\epsilon > 0\), existe un número natural \(N_2\) tal que:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} \quad \text{para todo} \ n \geq N_2. \]
Elegimos \(N\) como el máximo entre \(N_1\) y \(N_2\):
\[ N = \max(N_1, N_2). \]
Para todo \(n \geq N\), tenemos tanto \(n \geq N_1\) como \(n \geq N_2\). Por tanto:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{y} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}. \]
Consideremos la diferencia:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)|. \]
Podemos reescribir esta diferencia como:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| = |a_n \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Sumamos y restamos \(A \cdot b_n\):
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot B| = |(a_n \cdot b_n - A \cdot b_n) + (A \cdot b_n - A \cdot B)|. \]
Utilizamos la desigualdad triangular:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| + |A \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Descomponemos los términos:
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot b_n|. \]
Puesto que:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \]
además:
\[ |b_n| \leq |B| + 1 \text{ para } n \geq N, \]
tenemos:
\[ |(a_n - A) \cdot b_n| \leq |a_n - A| \cdot |b_n| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \cdot (|B| + 1) = \frac{\epsilon}{2}. \]
De manera similar:
\[ |A \cdot b_n - A \cdot B| = |A \cdot (b_n - B)|. \]
Puesto que:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}, \]
además:
\[ |A| \leq |A| + 1 \text{ para } n \geq N, \]
tenemos:
\[ |A \cdot (b_n - B)| \leq |A| \cdot |b_n - B| < (|A| + 1) \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} = \frac{\epsilon}{2}. \]
Sumamos las desigualdades:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |(a_n - A) \cdot b_n| + |A \cdot (b_n - B)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \]
Por tanto, para todo \(\epsilon > 0\), existe un \(N\) tal que para todo \(n \geq N\), se tiene:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon. \]
Lo que demuestra que:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B. \]
Límite del Cociente
Supongamos que tenemos dos sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) tales que:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
con \(B \neq 0\). Queremos demostrar que:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]
Esto significa que, para todo \(\epsilon > 0\), existe un número natural \(N\) tal que, para todo \(n \geq N\), se tiene:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon. \]
Reescribimos la diferencia como:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| = \left| \frac{a_n \cdot B - A \cdot b_n}{b_n \cdot B} \right|. \]
Para estimar esta expresión, podemos utilizar la desigualdad triangular y reescribir el numerador:
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)|. \]
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos:
\[ |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)| \leq |(a_n - A) \cdot B| + |A \cdot (B - b_n)|. \]
Ahora debemos estimar por separado los dos términos \( |(a_n - A) \cdot B| \) y \( |A \cdot (B - b_n)| \). Para ello, podemos elegir dos cantidades \( \delta_1 \) y \( \delta_2 \), tales que:
\[ \delta_1 + \delta_2 = \epsilon. \]
Imponemos las siguientes condiciones:
\[ |a_n - A| < \delta_1 \quad \text{y} \quad |b_n - B| < \delta_2. \]
Utilizando estas desigualdades, obtenemos para el primer término:
\[ |(a_n - A) \cdot B| \leq |a_n - A| \cdot |B| < \delta_1 \cdot |B|. \]
Para el segundo término:
\[ |A \cdot (B - b_n)| \leq |A| \cdot |B - b_n| < |A| \cdot \delta_2. \]
Sumamos ahora los dos términos:
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| \leq \delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|. \]
Finalmente, dividimos por \( |b_n \cdot B| \). Puesto que para \(n\) suficientemente grande \( |b_n| \geq \frac{|B|}{2} \), podemos escribir:
\[ \frac{|a_n \cdot B - A \cdot b_n|}{|b_n \cdot B|} \leq \frac{\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|}{\frac{|B|^2}{2}}. \]
Simplificando la expresión, obtenemos:
\[ \frac{2(\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|)}{|B|^2}. \]
Para garantizar que toda la expresión sea menor que \( \epsilon \), podemos elegir \( \delta_1 \) y \( \delta_2 \) de modo que satisfagan una relación proporcional. Por ejemplo, podemos elegir:
\[ \delta_1 = \frac{\epsilon}{2} \quad \text{y} \quad \delta_2 = \frac{\epsilon}{2}. \]
De esta manera, garantizamos que:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon, \]
demostrando así que:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]