El teorema de Cauchy es un resultado fundamental que extiende el teorema de Lagrange introduciendo una relación entre dos funciones.
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Teorema de Cauchy
Sean \(f, g : [a,b] \to \mathbb{R}\) funciones continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\), con \(g' \neq 0\) en \((a,b)\). Entonces existe \(\xi \in (a,b)\) tal que:
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
Se observa que \(g(b) - g(a) \neq 0\) en virtud de la hipótesis \(g' \neq 0\).
Demostración. Consideremos la función auxiliar:
\[h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]\]
Esta función satisface:
- \(h\) es continua en \([a,b]\) (en cuanto combinación de funciones continuas)
- \(h\) es derivable en \((a,b)\) (en cuanto tanto \(f\) como \(g\) son derivables)
Evaluamos \(h\) en los extremos:
Para \(x = a\):
\begin{align} h(a) &= f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] \\ &= f(a)g(b) - f(a)g(a) - g(a)f(b) + g(a)f(a) \\ &= f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Para \(x = b\):
\begin{align} h(b) &= f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] \\ &= f(b)g(b) - f(b)g(a) - g(b)f(b) + g(b)f(a) \\ &= f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Por tanto, \(h(a) = h(b)\). Por el teorema de Rolle, existe \(\xi \in (a,b)\) tal que \(h'(\xi) = 0\).
Calculamos \(h'(x)\):
\[h'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)]\]
Para \(x = \xi\), tenemos que \(h'(\xi) = 0\) implica:
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] - g'(\xi)[f(b) - f(a)] = 0\]
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] = g'(\xi)[f(b) - f(a)]\]
Puesto que \(g' \neq 0\) en \((a,b)\), podemos dividir ambos miembros por \(g'(\xi)\):
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
Esto completa la demostración del teorema de Cauchy.