El teorema de la permanencia del signo para funciones afirma que, si una función real \( f \) tiene un límite \( L \neq 0 \) cuando \( x \to x_0 \), existe un entorno de \( x_0 \) tal que la función \( f(x) \) mantiene el mismo signo que \( L \) para todos los valores de \( x \) en ese entorno (excluido, eventualmente, \( x_0 \)). En otros términos:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L > 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) > 0 \]
Si en cambio \( L < 0 \), entonces:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L < 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) < 0 \]
Por definición,
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, |f(x) - L| < \epsilon \]
En particular, eligiendo \( \epsilon = \frac{|L|}{2} \), se tiene
\[ L - \frac{|L|}{2} < f(x) < L + \frac{|L|}{2} \]
Ahora, observamos que:
- Si \( L > 0 \), entonces
\[ \left( L - \frac{L}{2} \right) = \frac{L}{2} < f(x) < \frac{3L}{2} = \left( L + \frac{L}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
- Si \( L = -|L| < 0 \), entonces
\[ \left( -|L| - \frac{|L|}{2} \right) = -\frac{3|L|}{2} < f(x) < -\frac{|L|}{2} = \left( -|L| + \frac{|L|}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
En ambos casos, en un entorno de \( x_0 \), los valores de la función \( f(x) \) tienen el mismo signo que \( L \).
