El Teorema de Lagrange, también conocido como Teorema del Valor Medio, es un resultado fundamental en análisis matemático. Este teorema afirma que, dada una función continua en un intervalo cerrado \( [a, b]\) y derivable en \( (a, b) \), existe al menos un punto en el que la derivada coincide con el cociente incremental entre los extremos del intervalo. La demostración se basa en el Teorema de Rolle y en la construcción de una función auxiliar.
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Teorema de Lagrange (o del Valor Medio)
Sea \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua en \([a,b]\) y derivable en cada punto de \( (a,b) \). Entonces, existe al menos un punto \( \xi \in (a,b) \) tal que:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Demostración. Para demostrar este teorema, construimos una función auxiliar \(F(x)\) que nos permitirá aplicar el Teorema de Rolle. Definimos:
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Esta función \(F(x)\) es la diferencia entre \(f(x)\) y la recta que pasa por los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\). Es fácil verificar que \(F(a) = F(b) = 0\). Además, \(F\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), heredando estas propiedades de \(f\).
Aplicando el Teorema de Rolle a \(F\), existe al menos un punto \(\xi \in (a,b)\) tal que \(F'(\xi) = 0\). Calculando la derivada de \(F\) obtenemos:
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Por lo tanto, \(F'(\xi) = 0\) implica la tesis del teorema. Este punto \( \xi \) no es necesariamente único.
Corolarios del Teorema de Lagrange
Corolario 1. Si una función tiene derivada nula en cada punto de un intervalo, entonces la función es constante en dicho intervalo.
Demostración. Fijemos un punto \(x_0\) en el intervalo. Para cualquier otro punto \(x\), aplicando el teorema de Lagrange en el intervalo \([x_0,x]\), obtenemos:
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Por lo tanto, \(f(x) = f(x_0)\) para todo \(x\) en el intervalo.
Corolario 2. Si \(f\) es derivable en un intervalo \(I\) y \(f'(x) \geq 0\) para cada \(x \in I\), entonces \(f\) es no decreciente en \(I\). De manera análoga, si \(f'(x) \leq 0\), entonces \(f\) es no creciente. Si \(f'(x) > 0\) para cada \(x \in I\), entonces \(f\) es estrictamente creciente; si \(f'(x) < 0\), entonces \(f\) es estrictamente decreciente.
Demostración. Tomemos dos puntos cualesquiera \(x_1 < x_2\) en \(I\), el teorema de Lagrange nos dice que:
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
dado que \(f'(\xi) \geq 0\) y \(x_2 - x_1 > 0\). Por lo tanto, \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Si \(f'(\xi) > 0\), entonces \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corolario 3. Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) para cada \(x \in (a,b)\), entonces:
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Demostración. Aplicando el teorema de Lagrange, sabemos que existe \(\xi\) entre \(a\) y \(x\) tal que:
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
Y dado que \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), la tesis sigue inmediatamente.