El teorema de Stolz-Cesàro proporciona una herramienta útil para calcular el límite de un cociente de sucesiones. Es especialmente útil cuando el denominador tiende al infinito y el cálculo del límite no es inmediato. Este teorema representa una generalización de los criterios de Cesàro y se utiliza a menudo para simplificar la verificación de la convergencia de sucesiones.
Teorema de Stolz-Cesàro. Sean \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) y \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) dos sucesiones numéricas, con \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) que satisface las siguientes propiedades:
- \( b_n > 0 \) para cada \( n \in \mathbb{N} \)
- \( b_{n+1} > b_n \) para cada \( n \in \mathbb{N} \)
- \(\lim_{n\to \infty } b_n = +\infty \).
Si existe el límite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
entonces existe también el límite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Demostración. Supongamos que el límite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
existe y es igual a \( L \). Debemos demostrar que:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Consideremos la definición de límite:
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_\varepsilon \]
Multipliquemos ambos lados por \( b_{n+1} - b_n \), que es positivo:
\[ (L - \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < (L + \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) \]
Sumemos esta desigualdad desde \( k = n_\varepsilon \) hasta \( k = n-1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) \]
Las sumas son telescópicas, lo que significa que los términos intermedios se cancelan. En detalle:
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = (a_{n_\varepsilon+1} - a_{n_\varepsilon}) + (a_{n_\varepsilon+2} - a_{n_\varepsilon+1}) + \dots + (a_n - a_{n-1}) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Lo mismo ocurre para la suma de los \( b_k \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon} \]
Por lo tanto, la desigualdad se convierte en:
\[ (L - \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < (L + \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) \]
Dividamos por \( b_n \)
\[ (L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) < \frac{a_n}{b_n} - \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < (L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) \]
y reorganizamos los términos:
\[ (L - \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < (L + \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} \]
Dado que \( b_n \to +\infty \), se sigue que:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0 \]
Finalmente, tomando el límite en ambos lados de la desigualdad:
\[ L - \varepsilon \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} \leq L + \varepsilon \]
Dado que \( \varepsilon \) es arbitrario, concluimos que:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Esto concluye la demostración del Teorema de Stolz-Cesàro.
La demostración para el caso \( n \to -\infty \) sigue el mismo razonamiento utilizado para \( n \to +\infty \), con una sola modificación: el intervalo de la suma telescópica.
Para \( n \to +\infty \), la suma va desde \( n_\varepsilon \) hasta \( n-1 \):
\[ \sum_{k = n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Para \( n \to -\infty \), la suma va desde \( n \) hasta \( n_\varepsilon - 1 \):
\[ \sum_{k = n}^{n_\varepsilon - 1} (a_{k+1} - a_k) = a_{n_\varepsilon} - a_n \]
Esto refleja el hecho de que \( n \to -\infty \), por lo que \( n \leq n_\varepsilon \).
El resto de la demostración permanece inalterado, llevando a la conclusión:
\[ \lim_{n \to -\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Esto concluye la demostración para \( n \to -\infty \).
Corolario I. Supongamos que la sucesión \(\{a_n\}\) es tal que:
\[\lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Entonces:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Demostración. Se trata de un caso particular del teorema de Stolz-Cesàro. Consideremos la sucesión \(\{b_n\}\) definida por \( b_n = n \) y observemos que \(b_{n+1} - b_n = 1\), por lo tanto:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Finalmente, por el teorema de Stolz-Cesàro:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Corolario II. Sea \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una sucesión y consideremos la secuencia de sus promedios, definida por
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad n \in \mathbb{N} \]
Si \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) converge al valor \( L \), entonces también la sucesión \( \{\alpha_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tiende al mismo límite:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \implies \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L \]
Demostración. Para demostrar este resultado, utilizamos el teorema de Stolz-Cesàro. Consideremos las sucesiones
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad b_n = n \quad n \in \mathbb{N} \]
Reescribiendo los límites, se obtiene:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} \]
Dado que \( \{b_n\} \) es estrictamente creciente e ilimitada, y \( \{c_n\} \) satisface los supuestos del teorema de Stolz-Cesàro, tenemos:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} a_n = L \]
De donde se sigue que:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L \]
Corolario III. Supongamos ahora que la sucesión \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tiene límite \( L \) y que \( a_n > 0 \) para cada \( n \). Entonces se cumple la siguiente relación:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Demostración. Definamos una nueva sucesión
\[ b_n = \log a_n \quad n \in \mathbb{N} \]
La sucesión \( \{b_n\} \) converge a \( \log L \). Los promedios aritméticos de \( \{b_n\} \) son
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} b_k = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k}. \]
Aplicando el corolario II, sabemos que
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \log L, \]
lo que implica
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Corolario IV. Sea \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) una sucesión de números reales estrictamente positivos. Se cumple el siguiente resultado:
Si existe \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\), entonces también existe \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\).
Demostración. Consideremos una nueva sucesión auxiliar \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) definida de la siguiente manera:
\[b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} \quad \text{para } n \geq 1 \quad \text{y} \quad b_0 = a_0\]
Por el corolario III sabemos que:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \lim_{n \to \infty} b_n = L\]
Observamos ahora que el producto telescópico de los \(b_k\) puede reescribirse como:
\[\sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{k-1}} \cdot a_0} = \sqrt[n]{a_n}\]
De lo que sigue inmediatamente la tesis.