En esta sección examinaremos los pasos para calcular la varianza de una variable aleatoria que sigue una distribución Gamma. El cálculo de la varianza requiere la determinación de ciertos momentos de la distribución, en particular el segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) y el primer momento \(\mathbb{E}(X)\).
Inicialmente, calcularemos el segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) resolviendo una integral que involucra la función de densidad de probabilidad de la distribución Gamma. Posteriormente, simplificaremos el cálculo mediante un cambio de variable y utilizaremos las propiedades de la función Gamma para obtener una expresión explícita. Finalmente, calcularemos la varianza utilizando la definición \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2\), una vez establecido el valor del primer momento.
Índice
- Cálculo del Segundo Momento
- Cambio de Variable
- Uso de la Función Gamma
- Cálculo de la Varianza
- Significado de los Parámetros
- Ejemplo Numérico para el Valor Esperado y la Varianza
Cálculo del Segundo Momento
Para calcular la varianza de una variable aleatoria \(X\), el primer paso consiste en determinar el valor esperado de \(X^2\), denotado por \(\mathbb{E}(X^2)\). Este valor puede expresarse a través de la siguiente integral:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{+\infty} x^2 f_X(x) \, dx \]
Sustituyendo la función de densidad de probabilidad \(f_X(x)\) de la distribución Gamma, obtenemos:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} x^{a+1} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \]
Cambio de Variable
Para simplificar el cálculo, efectuamos un cambio de variable \(y = \frac{x}{\lambda}\), que implica \(x = \lambda y\) y \(dx = \lambda \, dy\). Sustituyendo en la integral anterior, obtenemos:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} \lambda^{a+1} y^{a+1} e^{-y} \, \lambda \, dy \]
Agrupando los términos, se obtiene:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^{a+2}}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} y^{(a+2)-1} e^{-y} \, dy \]
Uso de la Función Gamma
La integral resultante corresponde a la definición de la función Gamma:
\[ \int_{0}^{+\infty} y^{k-1} e^{-y} \, dy = \Gamma(k) \]
Sustituyendo \(k = a+2\), obtenemos:
\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^2}{\Gamma(a)} \Gamma(a+2) \]
Utilizando la propiedad \(\Gamma(a+2) = (a+1)a\Gamma(a)\), concluimos que:
\[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1)a\lambda^2 \]
Cálculo de la Varianza
La varianza se define como:
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \]
Para una variable aleatoria que sigue una distribución Gamma, la definición de la distribución nos proporciona:
\[ \mathbb{E}(X) = a\lambda \]
Elevando al cuadrado, obtenemos:
\[ \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 = (a\lambda)^2 = a^2\lambda^2 \]
Sustituyendo estos resultados:
\[ \text{Var}(X) = (a+1)a\lambda^2 - a^2\lambda^2 \]
Simplificando, obtenemos:
\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]
Así, hemos derivado la expresión analítica de la varianza de una variable aleatoria \(X\) que sigue una distribución Gamma:
\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]
Significado de los Parámetros
El parámetro \(a\) (también denominado "parámetro de forma") determina la forma de la distribución Gamma. En particular, controla el comportamiento de la cola y la dispersión general de la distribución. Valores más elevados de \(a\) tienden a concentrar la distribución alrededor de la media.
El parámetro \(\lambda\) (conocido también como "parámetro de escala") regula el grado de dispersión de la distribución Gamma. Valores mayores de \(\lambda\) producen una distribución más dispersa, aumentando así la varianza de la variable aleatoria \(X\).
Por consiguiente, la varianza \(\text{Var}(X) = a\lambda^2\) pone de manifiesto cómo la dispersión de \(X\) está influenciada tanto por el parámetro \(a\) como por el parámetro \(\lambda\), haciendo que el análisis de los momentos sea fundamental para comprender las propiedades estadísticas de la distribución Gamma.
Ejemplo Numérico para el Valor Esperado y la Varianza
Supongamos que una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución Gamma con parámetros \(a = 3\) (parámetro de forma) y \(\lambda = 2\) (parámetro de escala). El objetivo es calcular la varianza de \(X\).
Comenzamos calculando el valor esperado \(\mathbb{E}(X)\). Para una variable aleatoria con distribución Gamma, el valor esperado viene dado por la relación: \[ \mathbb{E}(X) = a \cdot \lambda \] Sustituyendo los valores de los parámetros \(a\) y \(\lambda\), se obtiene: \[ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot 2 = 6 \] Por tanto, el valor esperado de la variable aleatoria \(X\) es igual a 6.
A continuación, calculamos el segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\). Este puede determinarse utilizando la relación: \[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1) \cdot a \cdot \lambda^2 \] Sustituyendo los valores de los parámetros, se tiene: \[ \mathbb{E}(X^2) = (3+1) \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \] Por tanto, el segundo momento de la variable aleatoria \(X\) es igual a 48.
Finalmente, calculamos la varianza \(\text{Var}(X)\) utilizando la definición: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \] Sustituyendo los valores calculados anteriormente, obtenemos: \[ \text{Var}(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \] Por tanto, la varianza de la variable aleatoria \(X\) es igual a 12.
En conclusión, para una variable aleatoria \(X\) con distribución Gamma y parámetros \(a = 3\) y \(\lambda = 2\), el valor esperado resulta ser \(6\) y la varianza resulta ser \(12\). Tales resultados indican que los valores de \(X\) tienden, en promedio, a concentrarse alrededor de 6, mientras que la dispersión de los valores respecto a la media es moderada, con una varianza igual a 12.