Varianza de la Distribución Gamma

En esta sección, examinaremos los pasos necesarios para calcular la varianza de una variable aleatoria que sigue una distribución Gamma. El cálculo de la varianza implica determinar ciertos momentos de la distribución, en particular el segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) y el primer momento \(\mathbb{E}(X)\).

Primero, calcularemos el segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) resolviendo una integral que involucra la función de densidad de probabilidad de la distribución Gamma. Luego, simplificaremos el cálculo mediante un cambio de variable y aprovecharemos las propiedades de la función Gamma para obtener una expresión explícita. Finalmente, utilizaremos la definición \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2\) para calcular la varianza, una vez determinado el valor del primer momento.

• Determinación del Segundo Momento
• Cambio de Variable
• Uso de la Función Gamma
• Cálculo de la Varianza
• Significado de los Parámetros
• Ejemplo Numérico de Valor Esperado y Varianza

Para calcular la varianza de una variable aleatoria \(X\), el primer paso es determinar el valor esperado de \(X^2\), denotado como \(\mathbb{E}(X^2)\). Este valor puede expresarse mediante la siguiente integral:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{+\infty} x^2 f_X(x) \, dx \]

Sustituyendo la función de densidad de probabilidad \(f_X(x)\) de la distribución Gamma, obtenemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} x^{a+1} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \]

Para simplificar el cálculo, realizamos un cambio de variable \(y = \frac{x}{\lambda}\), lo que implica \(x = \lambda y\) y \(dx = \lambda \, dy\). Sustituyendo en la integral anterior, obtenemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} \lambda^{a+1} y^{a+1} e^{-y} \, \lambda \, dy \]

Agrupando los términos, obtenemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^{a+2}}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} y^{(a+2)-1} e^{-y} \, dy \]

La integral resultante corresponde a la definición de la función Gamma:

\[ \int_{0}^{+\infty} y^{k-1} e^{-y} \, dy = \Gamma(k) \]

Sustituyendo \(k = a+2\), obtenemos:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^2}{\Gamma(a)} \Gamma(a+2) \]

Usando la propiedad \(\Gamma(a+2) = (a+1)a\Gamma(a)\), concluimos que:

\[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1)a\lambda^2 \]

La varianza se define como:

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \]

Para una variable aleatoria que sigue una distribución Gamma, la definición de la distribución nos da:

\[ \mathbb{E}(X) = a\lambda \]

Elevando al cuadrado:

\[ \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 = (a\lambda)^2 = a^2\lambda^2 \]

Sustituyendo estos resultados:

\[ \text{Var}(X) = (a+1)a\lambda^2 - a^2\lambda^2 \]

Simplificando:

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

Por lo tanto, hemos derivado la expresión analítica para la varianza de una variable aleatoria \(X\) que sigue una distribución Gamma:

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

El parámetro \(a\) (también conocido como "parámetro de forma") determina la forma de la distribución Gamma. En particular, controla el comportamiento de la cola y la dispersión general de la distribución. Valores más altos de \(a\) tienden a concentrar la distribución alrededor de la media.

El parámetro \(\lambda\) (también conocido como "parámetro de escala") regula el grado de dispersión de la distribución Gamma. Valores más altos de \(\lambda\) resultan en una distribución más dispersa, aumentando así la varianza de la variable aleatoria \(X\).

En consecuencia, la varianza \(\text{Var}(X) = a\lambda^2\) resalta cómo la dispersión de \(X\) está influida por \(a\) y \(\lambda\), haciendo que el análisis de los momentos sea fundamental para comprender las propiedades estadísticas de la distribución Gamma.

Supongamos que una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución Gamma con parámetros \(a = 3\) (parámetro de forma) y \(\lambda = 2\) (parámetro de escala). El objetivo es calcular la varianza de \(X\).

Primero, calculamos el valor esperado \(\mathbb{E}(X)\). Para una variable aleatoria con distribución Gamma, el valor esperado está dado por la relación: \[ \mathbb{E}(X) = a \cdot \lambda \] Sustituyendo los valores de los parámetros \(a\) y \(\lambda\), obtenemos: \[ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot 2 = 6 \] Por lo tanto, el valor esperado de la variable aleatoria \(X\) es 6.

Luego, calculamos el segundo momento \(\mathbb{E}(X^2)\). Este se puede determinar utilizando la relación: \[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1) \cdot a \cdot \lambda^2 \] Sustituyendo los valores de los parámetros, tenemos: \[ \mathbb{E}(X^2) = (3+1) \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \] Así, el segundo momento de la variable aleatoria \(X\) es 48.

Finalmente, calculamos la varianza \(\text{Var}(X)\) usando la definición: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \] Sustituyendo los valores calculados para \(\mathbb{E}(X^2)\) y \(\mathbb{E}(X)\), obtenemos: \[ \text{Var}(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \] Por lo tanto, la varianza de la variable aleatoria \(X\) es igual a \(12\).