Définition d’une fonction (Mathématiques) : Formules, Propriétés et Exercices Corrigés

Une fonction est une relation entre deux ensembles, qui associe à chaque élément du premier ensemble (appelé domaine) un unique élément du second ensemble (appelé codomaine). Dans cet article, nous étudierons la définition formelle du domaine, du codomaine, de l’image, ainsi que les propriétés essentielles telles que l’injectivité, la surjectivité et la bijection.

Sommaire

• Définition d’une fonction
• Domaine, Codomaine et Image
• Exemples de fonctions
• Propriétés des fonctions
• Fonctions injectives
• Fonctions non injectives
• Exercices sur les fonctions injectives
• Fonctions surjectives
• Fonctions non surjectives
• Exercices sur les fonctions surjectives
• Quelques exemples
• Fonctions bijectives
• Fonction réciproque
• Exercices sur les fonctions bijectives
• Restriction d’une fonction
• Exercices sur la restriction des fonctions

De manière formelle, une fonction est une correspondance (ou application) qui associe à chaque élément d’un ensemble \( X \) (appelé domaine) un unique élément d’un autre ensemble \( Y \) (appelé codomaine). La notation habituelle est la suivante :

\[ f : X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]

Ou encore :

\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]

Cela signifie que la fonction \( f \) est définie sur l’ensemble \( X \), et que les valeurs prises appartiennent à l’ensemble \( Y \). L’expression \( f(x) \) désigne l’élément \( y \in Y \) associé à un \( x \in X \), selon la loi de correspondance spécifiée par \( f \).

Comme mentionné précédemment, le domaine d’une fonction \( f \) est l’ensemble \( X \) constitué de tous les éléments pour lesquels la fonction est définie. Par exemple, considérons la fonction suivante :

\[ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2 + 1} \]

Cette fonction est définie sur l’ensemble des réels, soit \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). En revanche, son image est l’ensemble des valeurs effectivement prises par la fonction. Dans ce cas, on a \( \text{Im}(f) = (0, 1] \).

Le codomaine est l’ensemble \( Y \) dans lequel la fonction prend ses valeurs, même si toutes les valeurs de \( Y \) ne sont pas nécessairement atteintes. L’image (ou ensemble image) de la fonction \( f \) est précisément l’ensemble des éléments de \( Y \) qui sont effectivement atteints par la fonction, et elle se définit par :

\[ \text{Im}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \text{ tel que } f(x) = y \} \]

Un exemple classique de fonction est la fonction linéaire, qui représente une droite dans le plan cartésien décrite par l’équation d’une droite, et qui peut s’écrire de la manière suivante :

\[ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]

où \( m \) et \( q \) sont des constantes réelles. Un autre exemple important est celui de la fonction quadratique, qui représente une parabole, et s’écrit :

\[ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]

Les fonctions possèdent certaines propriétés fondamentales qui permettent de les classer et de mieux comprendre leur comportement. En particulier, on distingue les fonctions injectives, surjectives et bijectives, selon la manière dont les éléments du domaine sont associés aux éléments du codomaine.

Une fonction \( f : X \to Y \) est dite injective (ou injection) si à des éléments distincts de \( X \) correspondent des images distinctes dans \( Y \). Autrement dit, si deux éléments de \( X \) sont différents, alors leurs images par \( f \) sont également différentes. Formellement, cela s’écrit :

\[ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \]

Une définition équivalente repose sur la contraposée : si deux éléments ont la même image, alors ils sont nécessairement égaux :

\[ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \]

Prenons par exemple la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = x^3 \). Montrons qu’elle est injective :

• Si \( x_1 \neq x_2 \), alors \( x_1^3 \neq x_2^3 \), ce qui signifie que \( f(x_1) \neq f(x_2) \).
• En d'autres termes, pour toute paire \( x_1 \), \( x_2 \in \mathbb{R} \), on a \( f(x_1) = f(x_2) \) si et seulement si \( x_1 = x_2 \).

Une fonction est dite non injective lorsqu’il existe au moins deux éléments distincts de \( X \) qui ont la même image dans \( Y \). Autrement dit, il existe \( x_1 \neq x_2 \) tels que :

\[ f(x_1) = f(x_2) \]

Voici quelques exemples typiques de fonctions non injectives :

• La fonction quadratique \( f(x) = x^2 \), définie sur \( \mathbb{R} \), n’est pas injective. En effet, \( f(2) = f(-2) = 4 \), mais \( 2 \neq -2 \).
• La fonction trigonométrique \( f(x) = \sin(x) \), définie sur \( \mathbb{R} \), n’est pas injective non plus, car \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), alors que \( 0 \neq \pi \).

Exercice 1 : Déterminer si la fonction \( f(x) = 2x + 3 \) est injective.

Solution : Supposons que \( f(x_1) = f(x_2) \), c’est-à-dire :

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]

En soustrayant 3 de chaque côté, on obtient :

\[ 2x_1 = 2x_2 \]

Et en divisant par 2 :

\[ x_1 = x_2 \]

La fonction est donc injective.

Exercice 2 : La fonction \( f(x) = x^2 \) est-elle injective sur \( \mathbb{R} \) ?

Solution : Non. Par exemple, \( f(-2) = f(2) = 4 \), bien que \( -2 \neq 2 \). Donc la fonction n’est pas injective sur \( \mathbb{R} \). Elle le devient si l’on restreint le domaine à \( \mathbb{R}^+ \) ou \( \mathbb{R}^- \).

Exercice 3 : La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est-elle injective sur \( \mathbb{R} \) ?

Solution : Non. Par exemple, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), mais \( 0 \neq \pi \). La fonction n’est donc pas injective sur \( \mathbb{R} \). Elle l’est sur un intervalle restreint tel que \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \).

Exercice 4 : La fonction \( f(x) = \ln(x) \) est-elle injective sur \( (0, \infty) \) ?

Solution : Oui. Si \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), alors \( x_1 = x_2 \). La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \( (0, \infty) \), donc injective.

Exercice 5 : La fonction \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) est-elle injective sur \( \mathbb{R}^* \) ?

Solution : Oui. Si \( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \), alors \( x_1 = x_2 \). La fonction est donc injective sur \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Une fonction \( f : X \to Y \) est dite surjective (ou surjection) si, pour tout élément \( y \in Y \), il existe au moins un élément \( x \in X \) tel que :

\[ f(x) = y \]

Autrement dit, chaque élément du codomaine \( Y \) est atteint par au moins une valeur de \( X \). On dit alors que l’image de \( f \) est égale à \( Y \).

Un exemple classique de fonction surjective est la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), définie par \( f(x) = x^3 \). Voyons pourquoi elle est surjective :

• Pour tout \( y \in \mathbb{R} \), il existe un \( x \in \mathbb{R} \) tel que \( x^3 = y \). Par exemple, si \( y = 8 \), alors \( x = 2 \), car \( 2^3 = 8 \).
• De manière générale, la fonction cube est bijective sur \( \mathbb{R} \), donc en particulier surjective.

Une fonction est dite non surjective s’il existe au moins un élément \( y \in Y \) qui n’est l’image d’aucun \( x \in X \). Autrement dit, l’image de la fonction est strictement incluse dans le codomaine.

Voici quelques exemples de fonctions non surjectives :

• La fonction \( f(x) = x^2 \) définie sur \( \mathbb{R} \) n’est pas surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \). En effet, aucun réel \( x \) ne satisfait \( x^2 = -1 \), donc les valeurs négatives ne sont pas atteintes.
• La fonction \( f(x) = \sin(x) \), définie sur \( \mathbb{R} \), a pour image l’intervalle \( [-1, 1] \). Ainsi, par exemple, \( f(x) \neq 2 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), donc elle n’est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 1 : Déterminer si la fonction \( f(x) = 2x + 3 \) est surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \).

Solution : Soit \( y \in \mathbb{R} \). On souhaite résoudre \( f(x) = y \), c’est-à-dire :

\[ 2x + 3 = y \quad \Rightarrow \quad x = \frac{y - 3}{2} \]

Pour tout \( y \in \mathbb{R} \), il existe un \( x \in \mathbb{R} \) tel que \( f(x) = y \). La fonction est donc surjective.

Exercice 2 : La fonction \( f(x) = x^2 \) est-elle surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) ?

Solution : Non. Par exemple, il n’existe aucun \( x \in \mathbb{R} \) tel que \( x^2 = -1 \). L’image de cette fonction est \( [0, +\infty) \), donc elle n’est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 3 : La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est-elle surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) ?

Solution : Non. L’image de la fonction sinus est \( [-1, 1] \). Ainsi, il n’existe aucun \( x \in \mathbb{R} \) tel que \( \sin(x) = 2 \), donc la fonction n’est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 4 : La fonction \( f(x) = \ln(x) \) est-elle surjective sur \( \mathbb{R} \) ?

Solution : Oui. La fonction logarithme népérien \( f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) est continue et strictement croissante, et son image est exactement \( \mathbb{R} \). Pour tout \( y \in \mathbb{R} \), il existe \( x = e^y \in (0, +\infty) \) tel que \( f(x) = \ln(e^y) = y \).

Exercice 5 : La fonction \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) est-elle surjective de \( \mathbb{R}^* \) vers \( \mathbb{R}^* \) ?

Solution : Oui. Pour tout \( y \in \mathbb{R}^* \), il existe \( x = \displaystyle \frac{1}{y} \in \mathbb{R}^* \) tel que \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} = y \). La fonction est donc surjective sur \( \mathbb{R}^* \).

Une fonction \( f \) est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, elle établit une correspondance biunivoque entre les éléments du domaine et ceux du codomaine, et admet une fonction réciproque :

\[ f^{-1} : Y \to X \]

Cette fonction réciproque vérifie la relation :

\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{où} \quad f(x) = y \]

Ainsi, \( f^{-1} \) est bien définie pour tout \( y \in Y \), et satisfait les deux identités suivantes :

\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{et} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

Exemple de fonction bijective

Considérons la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = 2x + 1 \). Montrons qu’elle est bijective :

• Injectivité : supposons \( f(x_1) = f(x_2) \), soit \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). En simplifiant, on obtient \( x_1 = x_2 \), donc la fonction est injective.
• Surjectivité : soit \( y \in \mathbb{R} \). L’équation \( f(x) = y \) donne \( x = \frac{y - 1}{2} \), qui est bien un réel. Donc la fonction est surjective.
• Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective. Sa réciproque est \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \).

La fonction réciproque \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \) vérifie les identités suivantes :

• Pour tout \( y \in \mathbb{R} \), on a : \[ f(f^{-1}(y)) = f\left( \frac{y - 1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{y - 1}{2} + 1 = y \] donc \( f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y \).
• Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a : \[ f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \] donc \( f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X \).

Exemple de fonction non bijective

Prenons la fonction \( f(x) = x^2 \), définie sur \( \mathbb{R} \). Cette fonction n’est pas bijective, car :

• Elle n’est pas injective : par exemple, \( f(2) = 4 = f(-2) \), mais \( 2 \neq -2 \).
• Elle n’est pas surjective sur \( \mathbb{R} \) : il n’existe aucun réel \( x \) tel que \( x^2 = -1 \).
• N’étant ni injective ni surjective, elle n’est pas bijective, et n’admet donc pas de réciproque définie sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 1 : Déterminer si la fonction \( f(x) = 3x - 4 \) est bijective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \). Si oui, donner son inverse.

Solution :

• Injectivité : supposons \( f(x_1) = f(x_2) \). Alors \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), donc \( x_1 = x_2 \). Elle est donc injective.
• Surjectivité : soit \( y \in \mathbb{R} \). Résolvons \( 3x - 4 = y \) : \[ x = \frac{y + 4}{3} \] qui est un réel. Elle est donc surjective.
• La fonction est donc bijective, et son inverse est donnée par : \[ f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3} \]

Exercice 2 : La fonction \( f(x) = x^2 \) est-elle bijective de \( \mathbb{R}^+ \) vers \( \mathbb{R}^+ \) ?

Solution :

• Sur \( \mathbb{R}^+ \), la fonction est strictement croissante, donc injective.
• Pour tout \( y \in \mathbb{R}^+ \), il existe \( x = \sqrt{y} \) tel que \( f(x) = y \). Elle est donc surjective.
• Elle est donc bijective sur \( \mathbb{R}^+ \), et son inverse est : \[ f^{-1}(y) = \sqrt{y} \]

Exercice 3 : La fonction \( f(x) = x^3 \) est-elle bijective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) ? Donner l’inverse si elle existe.

Solution :

• La fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), donc injective.
• Pour tout \( y \in \mathbb{R} \), il existe \( x = \sqrt[3]{y} \) tel que \( x^3 = y \), donc elle est surjective.
• Elle est donc bijective, et son inverse est : \[ f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \]

Exercices supplémentaires

Exercice 4 : La fonction \( f(x) = e^x \) est-elle bijective de \( \mathbb{R} \) vers \( (0, +\infty) \) ?

Solution :

• \( e^x \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), donc injective.
• Pour tout \( y \in (0, +\infty) \), il existe \( x = \ln(y) \in \mathbb{R} \) tel que \( e^x = y \).
• Elle est donc bijective, et l’inverse est : \[ f^{-1}(y) = \ln(y) \]

Exercice 5 : La fonction \( f(x) = x + 2 \) est-elle bijective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) ?

Solution :

• Elle est injective (la fonction affine est strictement croissante).
• Elle est surjective (on peut résoudre \( x = y - 2 \) pour tout \( y \in \mathbb{R} \)).
• Elle est donc bijective, et son inverse est : \[ f^{-1}(y) = y - 2 \]

La restriction d’une fonction est une opération importante qui consiste à limiter le domaine d’une fonction à un sous-ensemble spécifique. Cette opération est souvent utilisée pour garantir que la fonction soit injective ou bijective, conditions nécessaires à l’existence d’une fonction réciproque.

Par exemple, la fonction quadratique \( f(x) = x^2 \), définie sur \( \mathbb{R} \), n’est pas injective car, pour chaque \( y > 0 \), il existe deux antécédents : \( x_1 = \sqrt{y} \) et \( x_2 = -\sqrt{y} \). Toutefois, si l’on restreint le domaine à \( [0, +\infty) \), la fonction devient injective et admet alors une fonction réciproque bien définie.

Exemple de restriction : fonction quadratique

Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \), définie sur \( \mathbb{R} \). Elle n’est pas injective car il existe \( x_1 \neq x_2 \) tels que \( f(x_1) = f(x_2) \), par exemple \( f(2) = f(-2) = 4 \). En restreignant le domaine à \( [0, +\infty) \), la fonction devient strictement croissante, donc injective.

On peut alors définir la fonction réciproque :

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]

Autres exemples de restriction

La restriction d’une fonction peut s’avérer utile dans divers contextes pour en simplifier l’analyse ou garantir certaines propriétés :

• La fonction \( f(x) = \sin(x) \), définie sur \( \mathbb{R} \), n’est pas injective. Mais si l’on restreint le domaine à \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \), elle devient injective. La fonction réciproque est alors \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), pour \( y \in [-1, 1] \).
• La fonction \( f(x) = \tan(x) \), définie sur \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \), est injective et surjective sur ce domaine. Sa réciproque est \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).

Exercice 1 : La fonction \( f(x) = x^3 \) est-elle injective sur \( \mathbb{R} \) ? Si oui, est-elle bijective ? Quelle est sa fonction réciproque ?

Solution : La fonction \( f(x) = x^3 \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), donc injective. Elle est aussi surjective, car tout \( y \in \mathbb{R} \) admet un antécédent \( x = \sqrt[3]{y} \). Elle est donc bijective sans restriction, et :

\[ f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \]

Exercice 2 : La fonction \( f(x) = x^2 \) n’est pas injective sur \( \mathbb{R} \). Restreindre son domaine à un intervalle sur lequel elle devient injective, et donner sa fonction réciproque.

Solution : En restreignant le domaine à \( [0, +\infty) \), la fonction devient injective. La fonction réciproque est alors :

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0 \]

Exercice 3 : Considérons la fonction logarithmique \( f(x) = \ln(x) \), définie sur \( (0, +\infty) \). Restreindre le domaine à \( [1, +\infty) \), et déterminer l’image ainsi que la fonction réciproque.

Solution : La fonction \( \ln(x) \) est strictement croissante. Sur \( [1, +\infty) \), on a \( f(1) = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \), donc l’image est \( [0, +\infty) \). La fonction réciproque est :

\[ f^{-1}(y) = e^y, \quad y \in [0, +\infty) \]

Exercice 4 : La fonction \( f(x) = \sin(x) \) n’est pas injective sur \( \mathbb{R} \). Trouver un intervalle sur lequel elle devient injective, et donner la fonction réciproque.

Solution : Sur l’intervalle \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \), la fonction sinus est strictement croissante. Elle est donc injective sur cet intervalle, et sa réciproque est :

\[ f^{-1}(y) = \arcsin(y), \quad y \in [-1, 1] \]

La restriction du domaine permet donc d’obtenir des fonctions injectives, surjectives ou bijectives, ce qui rend possible la définition d’une fonction réciproque.