Définition de fonction (Mathématiques)

Une fonction est une relation entre deux ensembles, dans laquelle chaque élément du domaine correspond à un élément unique du codomaine. Dans cette section, nous analyserons la définition formelle, le domaine, le codomaine, l'image et les principales propriétés telles que l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité.

• Définition de Fonction
• Domaine, Codomaine et Image
• Exemples de Fonctions
• Propriétés des Fonctions
• Fonctions Injectives
• Fonctions Non Injectives
• Exercices sur les Fonctions Injectives
• Fonctions Surjectives
• Fonctions Non Surjectives
• Exercices sur les Fonctions Surjectives
• Quelques Exemples
• Fonctions Bijectives
• Fonction Inverse
• Exercices sur les Fonctions Bijectives
• Restriction d'une Fonction
• Exercices sur la Restriction des Fonctions

Formellement, une fonction est une règle (ou application) qui associe à chaque élément d'un ensemble \(X\) (appelé domaine) un unique élément d'un autre ensemble \(Y\) (appelé codomaine). La notation utilisée pour exprimer une fonction est la suivante :

\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]

Ou bien :

\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]

De cette manière, on affirme que la fonction \(f\) est définie sur l'ensemble \(X\) et que les valeurs prises appartiennent à l'ensemble \(Y\). Par le terme \(f(x)\), on entend l'élément \(y \in Y\) qui est associé à chaque \(x \in X\), la fonction \(f\) spécifiant la règle de correspondance entre les éléments de \(X\) et ceux de \(Y\).

Comme mentionné précédemment, le domaine d'une fonction \(f\) est l'ensemble \(X\) constitué de tous les éléments pour lesquels la fonction est définie. Formellement :

\[ \text{Dom}(f) = X \]

Par exemple, la fonction :

\[ f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2+1} \]

est définie sur toute la droite réelle. Ainsi, \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). L'image est quant à elle l'ensemble des valeurs prises par la fonction, qui dans ce cas particulier est \( \text{Imm}(f) = (0, 1] \).

Le codomaine est l'ensemble \(Y\) qui contient toutes les valeurs qui peuvent être atteintes par la fonction \(f\), bien que toutes ces valeurs ne doivent pas nécessairement être effectivement obtenues. L'image (ou ensemble image) d'une fonction \(f\) est l'ensemble des éléments de \(Y\) qui sont effectivement atteints par la fonction, et est définie comme :

\[ \text{Imm}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \, : \, f(x) = y \} \]

Un exemple classique de fonction est la fonction linéaire, qui représente une droite et qui peut être formellement écrite comme :

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]

où \(m\) et \(q\) sont des constantes réelles. Un autre exemple significatif est la fonction quadratique, qui décrit une parabole et s'exprime par :

\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]

Les fonctions possèdent certaines propriétés fondamentales qui permettent de les caractériser de manière plus précise.

Une fonction \( f: X \to Y \) est dite injective si à des valeurs distinctes correspondent des images distinctes. En d'autres termes, si deux éléments de \( X \) sont distincts, leurs images par \( f \) sont également distinctes. Mathématiquement, une fonction est injective si :

\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]

Une autre manière de dire qu'une fonction est injective est que, si deux éléments sont mappés sur la même valeur, ils doivent être égaux. C'est-à-dire :

\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

Un exemple de fonction injective est la fonction \( f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = x^3 \). Voyons pourquoi cette fonction est injective :

• Si \( x_1 \neq x_2 \), alors \( x_1^3 \neq x_2^3 \), ce qui signifie que les images de \( x_1 \) et \( x_2 \) sont distinctes.
• En d'autres termes, pour chaque paire de valeurs distinctes \( x_1 \) et \( x_2 \) appartenant à \( \mathbb{R} \), leurs cubes ne seront jamais égaux.

Toutes les fonctions ne sont pas injectives. Une fonction est dite non injective lorsqu'il existe au moins deux éléments distincts de \( X \) qui ont la même image dans \( Y \). Autrement dit, il existe \( x_1 \neq x_2 \) tel que \( f(x_1) = f(x_2) \).

Des exemples de fonctions non injectives incluent :

• La fonction quadratique \( f(x) = x^2 \), qui n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \). En effet, \( f(2) = f(-2) = 4 \), mais \( 2 \neq -2 \), donc \( f(x) = x^2 \) n'est pas injective.
• La fonction sinus \( f(x) = \sin(x) \), qui n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \), car \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), mais \( 0 \neq \pi \), donc elle n'est pas injective.

Exercice 1 : Déterminez si la fonction \( f(x) = 2x + 3 \) est injective.

Solution : La fonction est injective si, pour chaque paire de valeurs distinctes \( x_1 \) et \( x_2 \), les images \( f(x_1) \) et \( f(x_2) \) sont distinctes. Supposons que \( f(x_1) = f(x_2) \), c'est-à-dire :

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]

En soustrayant 3 des deux côtés, on obtient :

\[ 2x_1 = 2x_2 \]

En divisant par 2 :

\[ x_1 = x_2 \]

Comme \( x_1 = x_2 \), la fonction est injective.

Exercice 2 : Déterminez si la fonction \( f(x) = x^2 \) est injective sur \( \mathbb{R} \).

Solution : La fonction \( f(x) = x^2 \) n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \). En effet, considérons les valeurs \( x_1 = -2 \) et \( x_2 = 2 \). Les deux satisfont \( f(x_1) = f(x_2) \), c'est-à-dire :

\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \]

Mais \( -2 \neq 2 \), donc la fonction n'est pas injective. La fonction est injective uniquement si elle est définie sur \( \mathbb{R}^+ \) ou \( \mathbb{R}^- \), car dans ces domaines chaque nombre a un seul carré positif.

Exercice 3 : Vérifiez si la fonction \( f(x) = \sin(x) \) est injective sur \( \mathbb{R} \).

Solution : La fonction \( f(x) = \sin(x) \) n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \), car il existe plusieurs valeurs de \( x \) qui donnent le même résultat. Par exemple, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), mais \( 0 \neq \pi \). Donc la fonction n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \). Si nous limitions le domaine de la fonction, par exemple à \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \), la fonction serait injective.

Exercice 4 : Déterminez si la fonction \( f(x) = \ln(x) \) est injective sur le domaine \( (0, \infty) \).

Solution : La fonction \( f(x) = \ln(x) \) est injective sur le domaine \( (0, \infty) \), car si \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), alors nécessairement \( x_1 = x_2 \). Cela est vrai pour toutes les valeurs de \( x_1 \) et \( x_2 \) appartenant au domaine \( (0, \infty) \).

Exercice 5 : Vérifiez si la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est injective sur \( \mathbb{R}^* \) (tous les réels sauf 0).

Solution : La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est injective sur \( \mathbb{R}^* \), car si \( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \), alors \( x_1 = x_2 \), puisque les nombres ne peuvent être égaux que si les fractions le sont.

Une fonction \( f: X \to Y \) est surjective si, pour chaque \( y \in Y \), il existe au moins un \( x \in X \) tel que :

\[ f(x) = y \]

En d'autres termes, une fonction est surjective si chaque élément de l'image \( Y \) est l'image d'au moins un élément de \( X \).

Un exemple de fonction surjective est la fonction \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), définie par \( f(x) = x^3 \). Voyons pourquoi cette fonction est surjective :

• Pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), il existe un \( x \in \mathbb{R} \) tel que \( x^3 = y \). Par exemple, si \( y = 8 \), alors \( x = 2 \) car \( 2^3 = 8 \).
• En général, pour chaque valeur de \( y \), il existe une valeur \( x \) qui satisfait \( x^3 = y \), donc la fonction est surjective.

Une fonction est dite non surjective s'il existe au moins un élément \( y \in Y \) qui n'est l'image d'aucun élément \( x \in X \). En d'autres termes, il existe des valeurs dans l'image \( Y \) qui ne sont l'image d'aucun élément du domaine \( X \).

Des exemples de fonctions non surjectives incluent :

• La fonction \( f(x) = x^2 \) définie sur \( \mathbb{R} \). L'image de cette fonction est \( \mathbb{R}^+ \) (les réels non négatifs), donc il n'existe pas de valeurs de \( x \) qui donnent des résultats négatifs. Par exemple, il n'existe aucun \( x \) tel que \( f(x) = -1 \), donc la fonction n'est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).
• La fonction \( f(x) = \sin(x) \), définie sur \( \mathbb{R} \), a pour image l'intervalle \( [-1, 1] \). Ainsi, par exemple, il n'existe aucune valeur de \( x \) qui donne \( f(x) = 2 \), donc la fonction n'est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 1 : Déterminez si la fonction \( f(x) = 2x + 3 \) est surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \).

Solution : La fonction est surjective si pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), il existe un \( x \in \mathbb{R} \) tel que \( f(x) = y \). Supposons que nous ayons \( y \in \mathbb{R} \). En résolvant l'équation \( f(x) = 2x + 3 = y \), nous obtenons :

\[ 2x = y - 3 \]

\[ x = \frac{y - 3}{2} \]

Puisque \( x \) existe pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), la fonction est surjective.

Exercice 2 : Déterminez si la fonction \( f(x) = x^2 \) est surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \).

Solution : La fonction \( f(x) = x^2 \) n'est pas surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \), car il n'existe pas de valeurs de \( x \) telles que \( f(x) = -1 \) (le carré d'un nombre réel est toujours non négatif). L'image de cette fonction est \( \mathbb{R}^+ \), donc elle n'est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 3 : Vérifiez si la fonction \( f(x) = \sin(x) \) est surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \).

Solution : La fonction \( f(x) = \sin(x) \) n'est pas surjective de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \), car la valeur de \( \sin(x) \) est limitée à l'intervalle \( [-1, 1] \). Par conséquent, il n'existe pas de valeurs de \( x \) qui peuvent donner \( \sin(x) = 2 \), donc elle n'est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 4 : Déterminez si la fonction \( f(x) = \ln(x) \) est surjective sur \( (0, \infty) \) de \( (0, \infty) \) à \( \mathbb{R} \).

Solution : La fonction \( f(x) = \ln(x) \) est surjective de \( (0, \infty) \) à \( \mathbb{R} \), car pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), il existe un \( x \in (0, \infty) \) tel que \( \ln(x) = y \). En effet, si \( y \in \mathbb{R} \), on peut trouver \( x = e^y \) tel que \( \ln(x) = y \).

Exercice 5 : Vérifiez si la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est surjective sur \( \mathbb{R}^* \) (tous les réels sauf 0) de \( \mathbb{R}^* \) à \( \mathbb{R}^* \).

Solution : La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est surjective sur \( \mathbb{R}^* \), car pour chaque \( y \in \mathbb{R}^* \), il existe un \( x \in \mathbb{R}^* \) tel que \( \frac{1}{x} = y \). En effet, si \( y \in \mathbb{R}^* \), on peut trouver \( x = \frac{1}{y} \) tel que \( f(x) = y \).

Une fonction \( f \) est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, \( f \) établit une correspondance bijective entre les éléments du domaine et ceux du codomaine, et admet une fonction inverse :

\[ f^{-1}: Y \to X \]

Cette fonction inverse satisfait la relation :

\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{où} \quad f(x) = y \]

La fonction inverse \( f^{-1} \) est définie pour chaque \( y \in Y \), et est à la fois une fonction inverse à droite et à gauche, car pour chaque \( y \in Y \), elle satisfait les identités suivantes :

\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{et} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

Exemple de fonction bijective

Considérons la fonction \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = 2x + 1 \). Vérifions que cette fonction est bijective :

• La fonction est injective : supposons que \( f(x_1) = f(x_2) \), c'est-à-dire \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). En résolvant, on obtient \( x_1 = x_2 \), donc la fonction est injective.
• La fonction est surjective : pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), nous pouvons résoudre l'équation \( 2x + 1 = y \), obtenant \( x = \frac{y - 1}{2} \), ce qui est une valeur réelle pour chaque \( y \in \mathbb{R} \). Donc, la fonction est surjective.
• Puisque la fonction est à la fois injective et surjective, elle est bijective et admet une fonction inverse \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \).

La fonction inverse \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \) satisfait les identités suivantes :

• Pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), \( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{y - 1}{2}\right) + 1 = y \), donc la relation \( f(f^{-1}(y)) = y \) est satisfaite.
• Pour chaque \( x \in \mathbb{R} \), \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \), donc la relation \( f^{-1}(f(x)) = x \) est satisfaite.

Exemple de fonction non bijective

Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \) définie sur \( \mathbb{R} \). Cette fonction n'est pas bijective, car :

• Elle n'est pas injective : par exemple, \( f(2) = 4 \) et \( f(-2) = 4 \), mais \( 2 \neq -2 \), donc la fonction n'est pas injective.
• Elle n'est pas surjective : par exemple, il n'existe aucun \( x \) tel que \( f(x) = -1 \), donc la fonction n'est pas surjective sur \( \mathbb{R} \).
• Comme elle n'est ni injective ni surjective, elle n'est pas bijective et n'admet donc pas de fonction inverse sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 1 : Détermine si la fonction \( f(x) = 3x - 4 \) est bijective de \( \mathbb{R} \) à \( \mathbb{R} \). Si elle est bijective, écris la fonction inverse.

Solution : La fonction est injective car si \( f(x_1) = f(x_2) \), c'est-à-dire \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), on obtient \( x_1 = x_2 \). De plus, elle est surjective car pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), on peut résoudre \( 3x - 4 = y \) pour obtenir \( x = \frac{y + 4}{3} \). La fonction est donc bijective et son inverse est \( f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3} \).

Exercice 2 : Vérifie si la fonction \( f(x) = x^2 \) est bijective de \( \mathbb{R}^+ \) à \( \mathbb{R}^+ \).

Solution : La fonction est injective sur \( \mathbb{R}^+ \) car \( x_1^2 = x_2^2 \) implique \( x_1 = x_2 \) pour \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+ \). Elle est également surjective sur \( \mathbb{R}^+ \), puisque pour chaque \( y \in \mathbb{R}^+ \), il existe un \( x = \sqrt{y} \) tel que \( f(x) = y \). La fonction est donc bijective sur \( \mathbb{R}^+ \) et son inverse est \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).

Exercice 3 : Détermine si la fonction \( f(x) = x^3 \) est bijective de \( \mathbb{R} \) à \( \mathbb{R} \). Écris la fonction inverse.

Solution : La fonction \( f(x) = x^3 \) est à la fois injective (car \( x_1^3 = x_2^3 \) implique \( x_1 = x_2 \)) et surjective (pour chaque \( y \in \mathbb{R} \), il existe un \( x = \sqrt[3]{y} \) tel que \( f(x) = y \)). La fonction est donc bijective et son inverse est \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Exercices Supplémentaires

Exercice 4 : Vérifie si la fonction \( f(x) = e^x \) est bijective de \( \mathbb{R} \) à \( (0, \infty) \).

Solution : La fonction \( f(x) = e^x \) est injective (car \( e^{x_1} = e^{x_2} \) implique \( x_1 = x_2 \)) et surjective sur \( (0, \infty) \), car pour chaque \( y \in (0, \infty) \), il existe un \( x = \ln(y) \) tel que \( f(x) = y \). La fonction est donc bijective et son inverse est \( f^{-1}(y) = \ln(y) \).

Exercice 5 : Détermine si la fonction \( f(x) = x + 2 \) est bijective de \( \mathbb{R} \) à \( \mathbb{R} \).

Solution : La fonction \( f(x) = x + 2 \) est bijective, car elle est à la fois injective et surjective. La fonction inverse est \( f^{-1}(y) = y - 2 \).

La restriction d'une fonction est un concept fondamental qui permet de restreindre le domaine d'une fonction à un sous-ensemble spécifique. Cette opération est particulièrement utile lorsqu'on souhaite garantir qu'une fonction soit injective et surjective, des conditions nécessaires à l'inversibilité. Par exemple, considérons la fonction quadratique \( f(x) = x^2 \), qui n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \) car pour chaque \( y > 0 \), il existe deux antécédents \( x_1 = \sqrt{y} \) et \( x_2 = -\sqrt{y} \). Cependant, en restreignant le domaine à \( [0, +\infty) \), nous obtenons une fonction injective, permettant ainsi l'existence d'une fonction inverse définie.

Exemple de Restriction : Fonction Quadratique

Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \) définie sur \( \mathbb{R} \). Cette fonction n'est pas injective, car il existe deux valeurs distinctes \( x_1 \) et \( x_2 \) telles que \( f(x_1) = f(x_2) \). Par exemple, \( f(2) = f(-2) = 4 \). Cependant, si nous restreignons le domaine de \( f(x) \) au sous-ensemble \( [0, +\infty) \), la fonction devient injective. En effet, pour \( x_1, x_2 \in [0, +\infty) \), l'égalité \( f(x_1) = f(x_2) \) implique \( x_1 = x_2 \), garantissant que la fonction est maintenant injective.

La restriction de la fonction à \( [0, +\infty) \) rend la fonction injective, et nous pouvons définir sa fonction inverse :

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]

Autres Exemples de Restriction

La restriction d'une fonction peut être appliquée dans divers contextes pour simplifier le comportement de la fonction ou pour l'adapter à un contexte spécifique :

• Si \( f(x) = \sin(x) \) sur \( \mathbb{R} \), nous pouvons restreindre le domaine à \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) pour la rendre injective. Dans ce cas, la fonction inverse sera \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), avec \( y \in [-1, 1] \).
• Si \( f(x) = \tan(x) \), définie sur \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), la fonction est injective et surjective sur ce domaine, et son inverse est \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).

Exercice 1 : Détermine si la fonction \( f(x) = x^3 \) est injective sur \( \mathbb{R} \). Ensuite, restreins le domaine de manière à ce que la fonction soit bijective et trouve sa fonction inverse.

Solution : La fonction \( f(x) = x^3 \) est déjà injective sur \( \mathbb{R} \), car \( f(x_1) = f(x_2) \) implique \( x_1 = x_2 \). Il n'est pas nécessaire de faire de restriction, et la fonction inverse est \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Exercice 2 : La fonction \( f(x) = x^2 \) n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \). Restreins le domaine à un intervalle où la fonction soit injective et trouve la fonction inverse.

Solution : Pour rendre la fonction injective, nous restreignons le domaine à \( [0, +\infty) \). Dans ce cas, la fonction inverse sera \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \), avec \( y \geq 0 \).

Exercice 3 : Considère la fonction \( f(x) = \ln(x) \) définie sur \( (0,+\infty) \). Restreins le domaine à \( [1,+\infty) \) et écris la fonction inverse.

Solution : La fonction logarithme est injective et surjective sur \( (0,+\infty) \) (avec pour codomaine \( \mathbb{R} \)). Si nous restreignons le domaine à \( [1,+\infty) \), l'image devient \( [0,+\infty) \) (puisque \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(x) \) est strictement croissante). Par conséquent, la fonction inverse est :

\[ f^{-1}(y) = e^y, \quad y \in [0,+\infty). \]

Exercice 4 : La fonction \( f(x) = \sin(x) \) n'est pas injective sur \( \mathbb{R} \). Restreins le domaine à un intervalle où la fonction soit injective et trouve la fonction inverse.

Solution : La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est injective sur \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). La fonction inverse sera \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), avec \( y \in [-1, 1] \).

La restriction d'une fonction permet de manipuler le domaine d'une fonction pour obtenir des propriétés souhaitées telles que l'injectivité, la surjectivité ou la bijectivité.