En analyse mathématique, une suite est une loi qui associe à chaque nombre naturel \( n \in \mathbb{N} \) un élément \( a_n \) appartenant à un ensemble \( X \). En d'autres termes, une suite est une fonction définie sur l'ensemble des nombres naturels à valeurs dans \( X \).
Définition
Formellement, une suite est définie comme une fonction :
\begin{align} a \,\, : \,\, & \mathbb{N} \rightarrow X \\ & n \rightarrow a(n) \end{align}
Dans cette définition, \( \mathbb{N} \) désigne l'ensemble des nombres naturels, c'est-à-dire \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} \). L'ensemble \( X \) représente l'ensemble d'arrivée, qui peut être l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \), des nombres complexes \( \mathbb{C} \), des nombres entiers \( \mathbb{Z} \) ou un autre ensemble numérique ou non numérique.
La fonction \( a \) associe à chaque nombre naturel \( n \) un élément \( a(n) \) appartenant à l'ensemble \( X \). La valeur \( a(n) \) est appelée terme de rang \( n \) de la suite et se note généralement \( a_n \), soit \( a_n = a(n) \). Le terme \( a_n \) indique donc la valeur prise par la suite pour l'indice \( n \).
Une suite peut être représentée explicitement par la liste ordonnée de ses termes :
\[ a_0, a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \]
La notation la plus utilisée pour indiquer une suite est \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) ou, alternativement, \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Les deux écritures expriment le fait que la suite est composée des termes \( a_n \) pour chaque \( n \in \mathbb{N} \).
Lorsque l'ensemble \( X \) est constitué des nombres réels \( \mathbb{R} \) ou complexes \( \mathbb{C} \), la suite est dite numérique. Plus précisément, si \( X = \mathbb{R} \), la suite est appelée suite réelle, tandis que si \( X = \mathbb{C} \), on parle de suite complexe.
Par exemple, la suite définie par \( a_n = \frac{1}{n} \) avec \( n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) est une suite réelle, car chaque terme appartient à l'ensemble des nombres réels.
Les suites peuvent aussi avoir des valeurs dans des ensembles non numériques. Il est possible de définir des suites de vecteurs, de matrices ou d'éléments d'un alphabet, selon le contexte d'étude.
Du point de vue graphique, les suites numériques peuvent être représentées en associant à chaque indice \( n \) la valeur correspondante du terme \( a_n \). Cette représentation permet de visualiser le comportement de la suite.
Par exemple, la suite définie par \( a_n = n^2 \) peut être représentée graphiquement comme une série de points, dont les valeurs augmentent selon une croissance quadratique :
\[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots \]
Exemples
Suites Récursives
Une suite récursive est définie en spécifiant les valeurs initiales et une règle permettant de calculer chaque terme successif à partir du précédent. Par exemple, la factorielle d'un nombre naturel \( n \) est définie comme :
\[ 0! = 1 \quad, \quad n! = n\cdot (n-1)! \]
De manière analogue, la puissance de 2 peut également être définie récursivement :
\[ 2^0 = 1 \quad , \quad 2^n = 2 \cdot 2^{n-1} \]
Plus généralement, pour tout \( 0 \neq x \in \mathbb{R} \), nous avons :
\[ x^0 = 1 \quad , \quad x^n = x\cdot x^{n-1} \]
Un autre exemple courant est la suite de Fibonacci, définie comme suit :
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \quad , \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \]
On appelle suite finie une suite constituée d'un nombre fini de termes, c'est-à-dire s'il existe un \( N \in \mathbb{N} \) tel que \( a_n \) n'est défini que pour \( n \leq N \). À l'inverse, on parle de suite infinie si \( a_n \) est défini pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Les suites infinies sont les plus utilisées en analyse mathématique et représentent un outil essentiel pour l'étude des séries, des fonctions et des limites.
Suites Monotones
Une suite est dite monotone si ses termes maintiennent un comportement constant, c'est-à-dire s'ils sont non décroissants ou non croissants. La monotonie d'une suite peut se manifester sous deux formes distinctes.
Suite Croissante
Une suite est dite croissante si chaque terme est inférieur ou égal au terme suivant. Formellement, la suite \( \{ a_n \} \) est croissante si :
\[ a_n \leq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Si l'inégalité est stricte, c'est-à-dire si \( a_n < a_{n+1} \) pour tout \( n \), la suite est dite strictement croissante.
Exemple : La suite \( a_n = n \) est strictement croissante, car :
\[ 0 < 1 < 2 < 3 < \dots \]
Suite Décroissante
Une suite est dite décroissante si chaque terme est supérieur ou égal au suivant. Formellement :
\[ a_n \geq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Si l'inégalité est stricte, c'est-à-dire si \( a_n > a_{n+1} \) pour tout \( n \), la suite est dite strictement décroissante.
Un exemple de suite décroissante est \( a_n = \frac{1}{n} \), qui prend les valeurs :
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Suites Bornées
Une suite \( \{ a_n \} \) est dite bornée s'il existe un nombre réel \( M \) tel que :
\[ |a_n| \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Dans ce cas, \( M \) est appelé majorant de la suite. Si, de plus :
\[ m \leq a_n \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
alors la suite est dite bornée supérieurement et inférieurement, où \( M \) est un majorant et \( m \) un minorant.
Par exemple, la suite \( a_n = (-1)^n \) est bornée, car ses termes oscillent entre \( -1 \) et \( 1 \).
Suites Non Bornées
Une suite est dite non bornée si ses termes croissent ou décroissent indéfiniment. Formellement, \( \{ a_n \} \) est non bornée si :
\[ \forall M \in \mathbb{R}, \; \exists n \in \mathbb{N} \; \text{tel que} \; |a_n| > M \]
Un exemple est la suite \( a_n = n \), qui n'est pas bornée supérieurement.
Suites Oscillantes
On appelle oscillante une suite dont les termes ne tendent pas à se stabiliser ni à croître ou décroître de façon monotone, mais varient continuellement.
Par exemple, la suite \( a_n = (-1)^n \) oscille entre \( 1 \) et \( -1 \) sans converger vers une valeur définie.
Cette suite est à la fois oscillante et bornée.
Suites Constantes
Une suite constante est un cas particulier de suite monotone où tous les termes sont égaux. Formellement, une suite est constante si :
\[ a_n = c \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Un exemple simple est la suite \( a_n = 5 \), qui produit la liste :
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Cette suite est monotone croissante et décroissante à la fois, et elle est aussi bornée.
Suites Périodiques
Une suite est dite périodique s'il existe un nombre naturel \( T > 0 \) tel que :
\[ a_{n+T} = a_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
La plus petite valeur de \( T \) pour laquelle cette propriété est vérifiée est appelée période de la suite.
Un exemple de suite périodique est \( a_n = \sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) \), qui a une période de 3.
