Pour comprendre en profondeur les propriétés des logarithmes, nous commencerons par leur définition. À partir de là, nous démontrerons étape par étape les principales règles qui permettent de simplifier et manipuler les expressions logarithmiques. Chaque propriété sera accompagnée d'un exercice résolu pour mettre en pratique ce qui a été appris.
Définition. Étant donné un nombre réel positif \( x > 0 \) et une base \( b > 0 \) avec \( b \neq 1 \), le logarithme de \( x \) en base \( b \), noté \( \log_b(x) \), est l'exposant \( y \) tel que \( b^y = x \). Formellement :
\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]
Sommaire
Identité fondamentale
L'identité fondamentale des logarithmes nous dit que si nous calculons \( b^{\log_b(a)} \), nous obtenons \( a \). Cette propriété est essentielle pour résoudre les équations logarithmiques et exponentielles.
\[ b^{\log_b(a)} = a \quad \text{avec} \quad a > 0 \]
Ceci est une conséquence directe de la définition du logarithme. En effet, \( \log_b(a) \) est précisément cet exposant qui, lorsque \( b \) est élevé à cette puissance, donne comme résultat \( a \).
Exercice. Calculez \( 3^{\log_3(81)} \).
Solution. En utilisant la propriété \( b^{\log_b(a)} = a \), nous pouvons écrire :
\[ 3^{\log_3(81)} = 81 \]
Résultat : \( 81 \).
Règle de l'exposant
La règle de l'exposant nous permet de calculer le logarithme d'une puissance. Cette règle transforme le logarithme d'une puissance en le produit entre l'exposant et le logarithme de la base de la puissance.
\[\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \quad \text{avec} \quad x > 0 \]
Démonstration. Soit \( k = \log_b(x) \). Par définition du logarithme, cela signifie que \( b^k = x \). Donc :
\[ \log_b(x^n) = \log_b((b^k)^n) = \log_b(b^{kn}) = kn = n \cdot \log_b(x) \]
Exercice. Simplifiez \( \log_2(32^3) \).
Solution. Nous utilisons la règle \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \) :
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot \log_2(32) \]
Puisque \( 32 = 2^5 \), nous avons :
\[ \log_2(32) = 5 \]
Donc :
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot 5 = 15 \]
Résultat : \( 15 \).
Règle du produit
La règle du produit nous dit que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs. Cette règle est fondamentale pour simplifier les expressions avec des produits.
\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \quad \text{avec} \quad x, y > 0 \]
Démonstration. Soient \( k = \log_b(x) \) et \( h = \log_b(y) \). Par définition du logarithme : \( b^k = x \) et \( b^h = y \). Donc :
\[ x \cdot y = b^k \cdot b^h = b^{k+h} \]
\[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(b^{k+h}) = k + h = \log_b(x) + \log_b(y) \]
Exercice. Calculez \( \log_5(25) + \log_5(4) \) et comparez avec \( \log_5(100) \).
Solution. Nous utilisons la règle du produit :
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(25 \cdot 4) \]
Puisque \( 25 \cdot 4 = 100 \), nous avons :
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \]
Puisque \( 25 = 5^2 \), nous avons \( \log_5(25) = 2 \), et par conséquent :
\[ \log_5(100) = 2 + \log_5(4) \]
Résultat : \( \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \).
Règle du quotient
La règle du quotient nous dit que le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes. Cette règle est utile pour simplifier les expressions avec des fractions.
\[\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \quad \text{avec} \quad x, y > 0 \]
Démonstration. Soient \( k = \log_b(x) \) et \( h = \log_b(y) \). Par définition du logarithme : \( b^k = x \) et \( b^h = y \). Donc :
\[ \frac{x}{y} = \frac{b^k}{b^h} = b^{k-h} \]
\[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{k-h}) = k - h = \log_b(x) - \log_b(y) \]
Exercice. Simplifiez \( \log_3(81) - \log_3(9) \).
Solution. Nous utilisons la règle du quotient :
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) \]
Puisque \( \displaystyle\frac{81}{9} = 9 \), nous avons :
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3(9) \]
Puisque \( 9 = 3^2 \), il s'ensuit que :
\[ \log_3(9) = 2 \]
Résultat : \( 2 \).
Changement de base
La formule du changement de base nous permet d'exprimer un logarithme dans une base quelconque en utilisant les logarithmes dans une autre base. Elle est particulièrement utile lorsque nous voulons utiliser la calculatrice, qui n'a souvent que les touches \( \ln \) et \( \log_{10} \).
\[\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \quad \text{avec} \quad x, b > 0 \quad , \quad b \neq 1 \quad , \quad c > 0 \quad ,\quad c \neq 1 \]
Exercice. Écrivez \( \log_2(40) \) en utilisant le logarithme naturel (\( \ln \)).
Solution. Nous utilisons la formule du changement de base :
\[ \log_2(40) = \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \]
Résultat : \( \displaystyle \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \).