Pour comprendre en profondeur les propriétés des logarithmes, nous commencerons par leur définition. À partir de là, nous démontrerons étape par étape les principales règles qui permettent de simplifier et de manipuler les expressions logarithmiques. Chaque propriété sera accompagnée d'un exercice résolu pour mettre en pratique ce que nous avons appris.
Définition. Soit un nombre réel positif \( x > 0 \) et une base \( b > 0 \) avec \( b \neq 1 \), le logarithme de \( x \) en base \( b \), noté \( \log_b(x) \), est l'exposant \( y \) tel que \( b^y = x \). Formellement :
\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]
Table des matières
Identité fondamentale
L'identité fondamentale des logarithmes nous dit que si nous calculons \( b^{\log_b(a)} \), nous obtenons \( a \). Cette propriété est essentielle pour résoudre les équations logarithmiques et exponentielles.
\[ b^{\log_b(a)} = a \quad \text{avec} \quad a > 0 \]
C'est une conséquence directe de la définition du logarithme. En effet, \( \log_b(a) \) est exactement cet exposant qui, lorsque \( b \) est élevé à celui-ci, donne \( a \) comme résultat.
Exercice. Calculez \( 3^{\log_3(81)} \).
Solution. En utilisant la propriété \( b^{\log_b(a)} = a \), nous pouvons écrire :
\[ 3^{\log_3(81)} = 81 \]
Résultat : \( 81 \).
Règle de l'exposant
La règle de l'exposant nous permet de calculer le logarithme d'une puissance. Cette règle transforme le logarithme d'une puissance en produit entre l'exposant et le logarithme de la base de la puissance.
\[\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \quad \text{avec} \quad x > 0 \]
Démonstration. Soit \( k = \log_b(x) \). Par définition du logarithme, cela signifie que \( b^k = x \). Donc :
\[ \log_b(x^n) = \log_b((b^k)^n) = \log_b(b^{kn}) = kn = n \cdot \log_b(x) \]
Exercice. Simplifiez \( \log_2(32^3) \).
Solution. Utilisons la règle \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \) :
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot \log_2(32) \]
Puisque \( 32 = 2^5 \), nous avons :
\[ \log_2(32) = 5 \]
Donc :
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot 5 = 15 \]
Résultat : \( 15 \).
Règle du produit
La règle du produit nous dit que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs. Cette règle est fondamentale pour simplifier les expressions contenant des produits.
\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \quad \text{avec} \quad x, y > 0 \]
Démonstration. Soient \( k = \log_b(x) \) et \( h = \log_b(y) \). Par définition du logarithme : \( b^k = x \) et \( b^h = y \). Donc :
\[ x \cdot y = b^k \cdot b^h = b^{k+h} \]
\[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(b^{k+h}) = k + h = \log_b(x) + \log_b(y) \]
Exercice. Calculez \( \log_5(25) + \log_5(4) \) et comparez avec \( \log_5(100) \).
Solution. Utilisons la règle du produit :
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(25 \cdot 4) \]
Puisque \( 25 \cdot 4 = 100 \), nous avons :
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \]
Puisque \( 100 = 5^2 \), il en résulte que :
\[ \log_5(100) = 2 \]
Résultat : \( 2 \).
Règle du rapport
La règle du rapport nous dit que le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes. Cette règle est utile pour simplifier les expressions avec des fractions.
\[\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \quad \text{avec} \quad x, y > 0 \]
Démonstration. Soient \( k = \log_b(x) \) et \( h = \log_b(y) \). Par définition du logarithme : \( b^k = x \) et \( b^h = y \). Donc :
\[ \frac{x}{y} = \frac{b^k}{b^h} = b^{k-h} \]
\[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{k-h}) = k - h = \log_b(x) - \log_b(y) \]
Exercice. Simplifiez \( \log_3(81) - \log_3(9) \).
Solution. Utilisons la règle du rapport :
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) \]
Puisque \( \displaystyle\frac{81}{9} = 9 \), nous avons :
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3(9) \]
Puisque \( 9 = 3^2 \), il en résulte que :
\[ \log_3(9) = 2 \]
Résultat : \( 2 \).
Changement de base
La formule du changement de base nous permet d'exprimer un logarithme dans n'importe quelle base en utilisant les logarithmes dans une autre base. Elle est particulièrement utile lorsque nous souhaitons utiliser la calculatrice, qui dispose souvent uniquement des touches \( \ln \) et \( \log_{10} \).
\[\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \quad \text{avec} \quad x, b > 0 \quad , \quad b \neq 1 \quad , \quad c > 0 \quad , \quad c \neq 1 \]
Exercice. Exprimez \( \log_2(40) \) en utilisant le logarithme naturel (\( \ln \)).
Solution. Utilisons la formule du changement de base :
\[ \log_2(40) = \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \]
Résultat : \( \displaystyle \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \).